Tóm tắt kiến thức cốt lõi: Tính diện tích hình phẳng: Sử dụng công thức tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối \(S = \int_{a}^{b} |f(x)| \mat...
- Tính diện tích hình phẳng: Sử dụng công thức tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối \(S = \int_{a}^{b} |f(x)| \mathrm{d}x\) đối với một đồ thị hoặc \(S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \mathrm{d}x\) đối với hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.
- Tính thể tích vật thể: Nếu một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = a\) và \(x = b\), có diện tích thiết diện vuông góc với trục hoành tại điểm \(x\) là \(S(x)\) (liên tục trên \([a;b]\)), thì thể tích được xác định bởi \(V = \int_{a}^{b} S(x) \mathrm{d}x\).
I. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng
Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) (với \(a < b\)) được xác định bằng công thức:
\[S = \int_{a}^{b} |f(x)| \mathrm{d}x\]
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x^3\), trục hoành cùng hai đường thẳng \(x = 0\) và \(x = 2\).
Lời giải:
Diện tích hình phẳng cần tính là:
\[S = \int_{0}^{2} |x^3| \mathrm{d}x = \int_{0}^{2} x^3 \mathrm{d}x = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{0}^{2} = 4 - 0 = 4\]
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng
Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f(x)\), \(y = g(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\) và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) được tính bằng công thức:
\[S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \mathrm{d}x\]
Lưu ý: Khi hiệu số \(f(x) - g(x)\) không đổi dấu trên đoạn \([a;b]\), ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối bằng cách lấy giá trị tuyệt đối của toàn bộ tích phân:
\[\int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \mathrm{d}x = \left| \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \mathrm{d}x \right|\]
II. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể
1. Hoạt động nhận biết công thức tính thể tích vật thể
Xét hình trụ có bán kính đáy \(R\), có trục trùng với trục hoành \(Ox\) và nằm giữa hai mặt phẳng \(x = a\), \(x = b\) (với \(a < b\)).
a) Xác định thể tích \(V\) của hình trụ.
b) Xác định diện tích mặt cắt \(S(x)\) khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với \(Ox\) tại hoành độ \(x\) (với \(a \le x \le b\)). Tính \(\int_{a}^{b} S(x) \mathrm{d}x\) và so sánh kết quả với \(V\).
Lời giải:
a) Thể tích của hình trụ là: \(V = \pi R^2 (b - a)\).
b) Thiết diện khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) là một hình tròn bán kính \(R\), nên diện tích mặt cắt là \(S(x) = \pi R^2\).
Khi đó, tích phân diện tích mặt cắt được tính như sau:
\[\int_{a}^{b} S(x) \mathrm{d}x = \int_{a}^{b} \pi R^2 \mathrm{d}x = \left. \pi R^2 x \right|_{a}^{b} = \pi R^2 (b - a)\]
Do đó: \(V = \int_{a}^{b} S(x) \mathrm{d}x\).
2. Công thức tổng quát tính thể tích vật thể
Xét một vật thể \(\mathcal{B}\) nằm trong không gian tọa độ \(Oxyz\), giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại các điểm có hoành độ \(x = a\) và \(x = b\).
Giả sử mặt phẳng vuông góc với \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) (với \(a \le x \le b\)) cắt vật thể \(\mathcal{B}\) tạo thành mặt cắt có diện tích \(S(x)\). Nếu \(S(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a;b]\), thể tích \(V\) của vật thể \(\mathcal{B}\) được tính bằng công thức:
\[V = \int_{a}^{b} S(x) \mathrm{d}x\]
