Công thức tính Thể tích tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau

Công thức tính nhanh Thể tích tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau kèm ví dụ minh họa có lời giải chi tiết (đề thi lại toán THPT 2026)

Công thức tính Thể tích tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau

Trong các bài toán hình học không gian trắc nghiệm Lớp 12, dạng bài tính thể tích của khối tứ diện có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau xuất hiện khá phổ biến. MathVN xin giới thiệu công thức tính nhanh và ví dụ minh họa áp dụng để giải quyết bài toán này chỉ trong vài bước bấm máy tính.

Đề bài (Công thức)

Cho tứ diện $ABCD$ có các cặp cạnh đối diện đôi một bằng nhau: $AB = CD = a$, $AC = BD = b$, $AD = BC = c$ (gọi là tứ diện đẳng diện). Chứng minh rằng thể tích $V$ của khối tứ diện được tính bằng công thức:

$$\boxed{V = \frac{\sqrt{2}}{12} \sqrt{(a^2 + b^2 - c^2)(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)}} $$

Chứng minh (Phương pháp Dựng hình hộp chữ nhật)

1. Dựng hình hộp chữ nhật ngoại tiếp

Đặt tứ diện $ABCD$ vào trong một hình hộp chữ nhật có 3 kích thước lần lượt là $x, y, z$ sao cho các cạnh của tứ diện chính là các đường chéo của các mặt hình hộp chữ nhật.

Khi đó ta có hệ phương trình:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a^2 \\ y^2 + z^2 = b^2 \\ z^2 + x^2 = c^2 \end{cases} $$

2. Biểu diễn kích thước $x, y, z$ theo $a, b, c$

Cộng ba phương trình trên rồi trừ đi từng phương trình tương ứng, ta thu được:

$$ x^2 = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2}, \quad y^2 = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2}, \quad z^2 = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2} $$

3. Tính thể tích tứ diện $ABCD$

Thể tích hình hộp chữ nhật ngoại tiếp là $V_{\text{hộp}} = x \cdot y \cdot z$.

Tứ diện $ABCD$ được tạo thành bằng cách cắt đi 4 khối chóp tam giác ở 4 góc của hình hộp. Mỗi khối chóp góc có thể tích bằng $\frac{1}{6} V_{\text{hộp}}$.

Do đó, thể tích tứ diện $ABCD$ là:

$$ V = V_{\text{hộp}} - 4 \cdot \left(\frac{1}{6} V_{\text{hộp}}\right) = \frac{1}{3} V_{\text{hộp}} = \frac{1}{3} xyz $$

Thay $x, y, z$ đã tính ở trên vào công thức:

$$ V = \frac{1}{3} \sqrt{x^2 y^2 z^2} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{(a^2 + c^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2)(b^2 + c^2 - a^2)}{8}} $$

$$ \Rightarrow V = \frac{\sqrt{2}}{12} \sqrt{(a^2 + b^2 - c^2)(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)} $$

4. Kết luận

Công thức tính nhanh thể tích tứ diện đẳng diện đã được chứng minh hoàn tất.

Nhận xét & Trường hợp đặc biệt

Điều kiện tồn tại: Các mặt của tứ diện đẳng diện phải là các tam giác nhọn, tức là $a^2 + b^2 > c^2$, $b^2 + c^2 > a^2$, $c^2 + a^2 > b^2$.

Trường hợp tứ diện đều: Khi $a = b = c$, công thức thu gọn thành thể tích tứ diện đều quen thuộc:

$$ V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} $$

Ví dụ minh họa áp dụng công thức giải nhanh

Dưới đây là bài toán thực tế trích từ đề thi để minh họa hiệu quả của công thức tính nhanh so với phương pháp dựng hình truyền thống.

Ví dụ minh họa (Đề thi lại Toán 2026)

Câu 6: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = CD = 20\sqrt{5}$, $AC = BD = 50$, $AD = BC = 10\sqrt{13}$. Thể tích của khối tứ diện đã cho bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Nhận xét: Tứ diện $ABCD$ có các cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi một, đây là dạng tứ diện đẳng diện.

Áp dụng công thức tính nhanh với $a = 20\sqrt{5}$, $b = 50$, $c = 10\sqrt{13}$:

Bước 1: Tính bình phương độ dài các cạnh:

• $a^2 = (20\sqrt{5})^2 = 2000$
• $b^2 = 50^2 = 2500$
• $c^2 = (10\sqrt{13})^2 = 1300$

Bước 2: Tính các nhân tử trong căn:

$$ a^2 + b^2 - c^2 = 2000 + 2500 - 1300 = 3200 $$ $$ b^2 + c^2 - a^2 = 2500 + 1300 - 2000 = 1800 $$ $$ c^2 + a^2 - b^2 = 1300 + 2000 - 2500 = 800 $$

Bước 3: Thay vào công thức thể tích:

$$ V = \frac{\sqrt{2}}{12} \sqrt{3200 \cdot 1800 \cdot 800} = 8000. $$

Vậy thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng $\boxed{8000}$.