Tài liệu cập nhật đề thi chọn học sinh giỏi THCS môn Toán cấp tỉnh của Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Trị năm học 2025-2026. Cấu trúc đề thi b...
Câu 1 (4,0 điểm)
1. Cho biểu thức \(M = \frac{a\sqrt{a} + 19\sqrt{a} - 14}{a + \sqrt{a} - 2} + \frac{\sqrt{a} - 2}{\sqrt{a} + 2} - \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1}\).
a) Rút gọn biểu thức \(M\).
b) Tìm \(a\) để \(M\) đạt giá trị nhỏ nhất.
2. Cho \(f(x) = \frac{1}{1 + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{9}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{4x + 1} + \sqrt{4x + 5}}\) với \(x \in \mathbb{N}\).
Chứng minh \(f(505)\) là một số nguyên.
Câu 2 (4,0 điểm)
1. Từ một tấm tôn hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, người ta cắt bỏ bốn hình vuông có độ dài cạnh \(6\text{ cm}\) ở bốn góc, sau đó gập thành một chiếc thùng có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp và có thể tích bằng \(480\text{ cm}^3\). Tính độ dài các cạnh của tấm tôn hình chữ nhật ban đầu.
2. Một nhóm có 16 người (bao gồm đàn ông, đàn bà và trẻ em) đi nghỉ mát ở bãi biển Nhật Lệ. Họ chia nhau mang theo 19kg vật dụng và lương thực. Mỗi người đàn ông mang theo 3kg, mỗi nhóm hai người đàn bà mang theo 1kg, mỗi nhóm ba trẻ em mang theo 1kg. Tính số người đàn ông, số người đàn bà và số trẻ em trong nhóm đó.
3. Giải hệ phương trình
\[\begin{cases} 1 + 2y + 2xy = 2y\sqrt{x^2 + 2y + 1} \\ 1 + x = 2y^2 \end{cases}\]
Câu 3 (3,0 điểm)
1. Một hộp chứa 6 thẻ được ghi số từ 1 đến 6. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 thẻ. Tính xác suất của biến cố E: "Trong ba thẻ lấy ra thì có một thẻ có số ghi trên đó bằng tổng hai số ghi trên hai thẻ còn lại".
2. Một con kiến di chuyển một cách ngẫu nhiên theo các đường kẻ từ A đến C (như hình vẽ). Khi tới các ngã rẽ, con kiến luôn di chuyển sang phải hoặc di chuyển lên trên. Tính xác suất để trên đường đi từ A đến C, con kiến phải di chuyển qua điểm B.
Câu 4 (7,0 điểm)
1. Từ một điểm A trên mặt đất, một máy laser được đặt để đo đạc hai tòa nhà có chiều cao lần lượt là \(BC = 30\text{ m}\) và \(EF = 120\text{ m}\) (như hình vẽ). Góc quan sát từ điểm A đến điểm C nằm trên đỉnh tòa nhà thứ nhất là \(\alpha\) và đến điểm F nằm trên đỉnh tòa nhà thứ hai là \(\beta\). Tính khoảng cách từ điểm C đến điểm F, biết rằng \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\) và \(\sin\beta = \frac{12}{13}\).
2. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của BC, N là một điểm trên cạnh AB và P là một điểm trên cạnh AC sao cho \(\widehat{NMP} = 60^\circ\).
a) Tính \(BN \cdot CP\) theo a.
b) Chứng minh NP luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
c) Xác định vị trí của N, P sao cho khoảng cách từ A đến NP đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5 (2,0 điểm)
Tìm tất cả các cặp giá trị nguyên dương \((x; y)\) sao cho \(x^2 + \sqrt{xy} + 3\) và \(y^2 + \sqrt{xy} + 3\) đều là số chính phương.
