Thông tin chung: Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 năm học 2025 – 2026 môn Toán do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên ...
NỘI DUNG ĐỀ THI
a) Giải phương trình lượng giác để tìm nghiệm dương có giá trị nhỏ nhất: \(2\sin\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) - 1 = 0\).
b) Trong quá trình thử nghiệm lâm sàng một loại kháng sinh mới, nồng độ thuốc trong hệ tuần hoàn của bệnh nhân sau \(t\) giờ sử dụng được mô phỏng bằng hàm số \(C(t) = \frac{at}{t^2 + b}\) (đơn vị: microgam/lít), trong đó \(a, b\) là các hằng số thực dương. Xác định khoảng thời gian thuốc phát huy hiệu quả kháng khuẩn (khi nồng độ thuốc duy trì tối thiểu 10 microgam/lít), biết nồng độ đạt đỉnh là 12 microgam/lít tại thời điểm đúng 4 giờ sau khi uống.
a) Cho dãy số tăng \((a_n)\) lập thành một cấp số cộng thỏa mãn điều kiện \(a_1 + a_4 + a_{10} = 69\). Đồng thời, ba số hạng \(a_1\), \(a_2 + 1\) và \(a_5 + 14\) tạo thành một cấp số nhân theo đúng thứ tự đó. Hãy tính tổng của 20 số hạng đầu tiên \(S_{20}\) của dãy số.
b) Xét tính liên tục tại điểm \(x = 0\) của hàm số cho bởi công thức: \[ y = f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt[3]{1+x} - \sqrt{1+x}}{x} & \text{khi } x \neq 0 \\ \frac{1}{6} & \text{khi } x = 0 \end{cases} \]
Xét tập hợp \(X\) chứa tất cả các số tự nhiên có hai chữ số phân biệt được lập nên từ các chữ số thuộc tập \(\{1; 2; 3; 4; 5; 6\}\). Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập \(X\). Tính xác suất để hai số thu được có tổng bốn chữ số bằng 18 và cả bốn chữ số này đều đôi một khác nhau.
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A_1B_1C_1\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại đỉnh \(A\), cạnh \(AB = a\) và chiều cao \(AA_1 = a\sqrt{2}\).
a) Tính số đo góc tạo bởi hai đường thẳng \(BC_1\) và \(AC\).
b) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((A_1BC_1)\).
c) Giả sử các điểm \(M, N\) thay đổi lần lượt trên hai đoạn thẳng \(A_1C_1\) và \(BC_1\) sao cho độ dài \(MN = \frac{a}{2}\). Tìm vị trí của \(M\) và \(N\) để thể tích khối chóp \(A.A_1BNM\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho dãy số \((a_n)\) được xác định bởi các số hạng đầu \(a_1 = 1, a_2 = 2\) và công thức truy hồi: \[ a_{n+2} = a_{n+1} + \frac{a_{n+1}^3}{a_n^2}, \quad \forall n \ge 1 \] Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(m\), ta luôn có bất đẳng thức: \(\sum_{k=1}^{m} \frac{a_k}{a_{k+1}} < 1\).
Tìm tất cả cặp số nguyên dương \((n, k)\) thỏa mãn đẳng thức: \((n+1)^n = 2\cdot n^k + 3n + 1\).
Cho đa thức bậc bốn \(P(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + ax + b\) có hai nghiệm thực dương \(x_1, x_2\) thỏa mãn mối liên hệ \(x_1 + x_2 = 2x_1 x_2\). Tìm giá trị lớn nhất của tổng \(a + b\).
