KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ - NĂM HỌC 2025 - 2026 Môn thi: TOÁN | Thời gian làm...
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ - NĂM HỌC 2025 - 2026
Môn thi: TOÁN | Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
CÂU 1 (5,0 ĐIỂM)
1. Giải phương trình lượng giác sau trên tập số thực:
\[ \sin x - \cos x + \sin 2x - \cos 2x = 1 \]2. Một xưởng dệt thảm lụa có quỹ thời gian hoạt động tối đa là 120 giờ mỗi tuần. Xưởng sản xuất hai mặt hàng chính: thảm loại lớn và thảm loại nhỏ. Để sản xuất 1 tấm thảm loại lớn cần 3 giờ làm việc, còn 1 tấm thảm loại nhỏ cần 1,5 giờ. Diện tích kho lưu trữ tối đa được 30 tấm thảm cỡ lớn, biết không gian chứa 1 tấm thảm lớn tương đương với 3 tấm thảm nhỏ. Toàn bộ sản phẩm làm ra trong tuần đều được tiêu thụ hết. Mỗi tấm thảm lớn thu về tiền lãi 180 nghìn đồng, mỗi tấm thảm nhỏ mang lại tiền lãi 80 nghìn đồng. Xác định số lượng thảm mỗi loại xưởng cần dệt trong một tuần để lợi nhuận thu được đạt giá trị lớn nhất?
3. Một chất điểm di chuyển trên đường thẳng từ vị trí \(A\) hướng về vị trí \(B\) cách nhau \(265\text{ m}\). Quá trình chuyển động diễn ra ngắt quãng theo quy luật: Đầu tiên, vật đi được \(3\text{ m}\) rồi dừng lại nghỉ \(1\text{ s}\); đoạn tiếp theo vật đi được \(5\text{ m}\) rồi nghỉ \(2\text{ s}\); đoạn kế tiếp dài thêm \(2\text{ m}\) và thời gian nghỉ tăng gấp đôi so với lần nghỉ liền trước. Biết trong suốt thời gian di chuyển, vật luôn giữ vận tốc không đổi là \(1\text{ m/s}\). Hỏi kể từ lúc bắt đầu xuất phát, sau bao nhiêu lâu thì vật tới được điểm \(B\)?
CÂU 2 (5,0 ĐIỂM)
1. Cho hàm số trùng phương \(y = x^4 - 8mx^2 + 16m^2 + m - 1\) có đồ thị là \((C_m)\), trong đó \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để đồ thị \((C_m)\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có trực tâm trùng với gốc tọa độ \(O\).
2. Một bể bơi phức hợp có chiều rộng \(8\text{ m}\) và tổng chiều dài \(26\text{ m}\). Bể được chia thành ba khu vực nối tiếp nhau theo chiều dài:
- Khu vực I (dành cho người lớn) dài \(10\text{ m}\), đáy phẳng, độ sâu \(2\text{ m}\).
- Khu vực II (dành cho trẻ em) dài \(8\text{ m}\), đáy phẳng, độ sâu \(1,2\text{ m}\).
- Khu vực trung gian nối giữa khu vực I và khu vực II dài \(8\text{ m}\), đáy dạng mặt phẳng nghiêng biến thiên độ sâu từ \(2\text{ m}\) đến \(1,2\text{ m}\).
Ban đầu bể chưa chứa nước. Người ta tiến hành bơm nước vào bể với tốc độ không đổi là \(2\text{ m}^3/\text{phút}\). Hãy tính vận tốc dâng lên của mực nước trong bể tại thời điểm độ sâu của nước ở khu vực I đạt \(0,3\text{ m}\).
CÂU 3 (7,0 ĐIỂM)
1. Để đo chiều rộng \(BC\) của một hòn đảo nhỏ ngoài bờ biển (với \(B, C\) lần lượt là hai điểm mép ngoài cùng bên trái và bên phải của hòn đảo nhìn từ bờ), một quan sát viên đứng tại điểm \(A\) trên bờ biển đã chọn một vị trí mốc \(M\) trên đất liền sao cho \(A\) nằm phía trong góc \(\widehat{BMC}\). Bằng các thiết bị đo đạc, người đó thu được các số liệu sau:
\[ AM = 0,2\text{ km}, \quad \widehat{BAC} = 113^\circ, \quad \widehat{MAC} = 103^\circ, \quad \widehat{AMB} = 31^\circ, \quad \widehat{AMC} = 69^\circ \]Tính khoảng cách \(BC\) theo đơn vị kilômét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
2. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a\) và \(AD = 2a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy \((ABCD)\). Góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng đáy \((ABCD)\) là \(\varphi\) thỏa mãn \(\tan\varphi = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Gọi \(M\) và \(H\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(BC\) và \(SB\); điểm \(N\) là giao điểm của \(DM\) và \(AC\).
a) Tính thể tích khối chóp \(S.MNC\) theo \(a\).
b) Tính khoảng cách từ điểm \(H\) đến mặt phẳng \((SMN)\) theo \(a\).
CÂU 4 (3,0 ĐIỂM)
Một tỉnh quy định mã biển số xe dạng \(\text{7xA - abc.de}\), trong đó \(x \in \{3, 4\}\) và \(a, b, c, d, e\) đại diện cho các chữ số thuộc tập \(\{0; 1; 2; \dots; 9\}\) không đồng thời bằng \(0\).
1. Có tất cả bao nhiêu biển số xe dạng trên chứa đồng thời cả hai chữ số \(3\) và \(4\)?
2. Hai bạn học sinh chọn ngẫu nhiên mỗi người một biển số xe thuộc loại mã trên. Tính xác suất để trong hai biển số thu được, có đúng một biển số chứa duy nhất một chữ số \(3\), biển số còn lại chứa đồng thời cả hai chữ số \(3\) và \(4\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
GỢI Ý HƯỚNG DẪN GIẢI KỲ THI HSG LỚP 12:
Câu 1.1: Biến đổi phương trình thành \((\sin x - \cos x) + (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) - (\sin^2 x + \cos^2 x) = 0\) để nhóm nhân tử chung.
Câu 1.2: Gọi \(x, y\) lần lượt là số thảm lớn và nhỏ. Lập hệ bất phương trình miền nghiệm: \(3x + 1,5y \le 120\), \(x + \frac{1}{3}y \le 30\), \(x, y \ge 0\) và tối ưu hóa hàm lợi nhuận \(F(x,y) = 180x + 80y\).
Câu 1.3: Xác định tổng quãng đường các chặng là cấp số cộng: \(u_n = 3 + (n-1)2 = 2n + 1\). Tổng quãng đường \(S_n = n^2 + 2n\). Tìm \(n\) để \(S_n \ge 265\).
