SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI CHỌN HSG THÀNH PHỐ VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG DỰ THI QUỐC GIA CÁC MÔN VĂN HOÁ LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2025 - 202...
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
KỲ THI CHỌN HSG THÀNH PHỐ VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG DỰ THI QUỐC GIA CÁC MÔN VĂN HOÁ LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2025 - 2026
Môn thi: TOÁN (BẢNG A)
Ngày thi: 22 tháng 9 năm 2025
Thời gian làm bài: 180 phút
PHẦN I - Trả lời ngắn (12,0 điểm)
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 15. Với mỗi câu hỏi, thí sinh viết kết quả vào giấy thi.
Câu 1: Một chất điểm chuyển động trên trục \( Ox \) có phương trình chuyển động là \( x = 2\cos(2\pi t) - 1 \) (đơn vị: centimet), với \( t \ge 0 \) (đơn vị: giây). Trong 5 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, chất điểm đi qua gốc tọa độ \( O \) bao nhiêu lần?
Câu 2: Cho hàm số bậc ba \( y = f(x) \) xác định trên \( \mathbb{R} \) và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Hàm số \( g(x) = f(x^3 + 1) \) đạt cực đại tại điểm \( x_0 \). Giá trị của \( x_0 \) bằng bao nhiêu?
Câu 3: Với \( x_1 \) và \( x_2 \) là các nghiệm của phương trình \( 3^{x-1} = 5^{x^2-1} \). Giá trị của biểu thức \( S = x_1 + x_2 \) bằng bao nhiêu?
Câu 4: Cho đa giác lồi có 10 đỉnh \( A_1, A_2, \dots, A_{10} \). Có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh là đỉnh của đa giác đã cho, trong đó không có hai đỉnh nào của tam giác là hai đỉnh kề nhau của đa giác?
Câu 5: Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm trên \( \mathbb{R} \) và có đồ thị là đường cong \( (C) \) như hình vẽ. Biết rằng đường thẳng \( d \) là tiếp tuyến của đồ thị \( (C) \) tại điểm \( A(2; -1) \). Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = f^2(1-x) \) tại điểm có hoành độ \( x = -1 \) có hệ số góc bằng bao nhiêu?
Câu 6: Hình chữ nhật \( ABCD \) được trang trí bởi một hình elip, các hình vuông cạnh 1 và các hình tròn đường kính 1 như hình vẽ. Diện tích của hình chữ nhật \( ABCD \) bằng bao nhiêu?
Câu 7: Một công ty tham gia đấu thầu ba dự án \( A, B, C \) độc lập với nhau. Xác suất trúng thầu các dự án \( A, B, C \) lần lượt là \( 0,5 \); \( 0,6 \) và \( x \). Biết rằng xác suất để công ty trúng thầu ít nhất một dự án là \( 0,94 \). Xác suất để công ty trúng thầu cả ba dự án bằng bao nhiêu?
Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), xét \( A \) và \( B \) là hai điểm lần lượt nằm trên đồ thị hàm số \( y = \log_3 x \) và \( y = \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x \) sao cho điểm \( C(3; 0) \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \) (như hình vẽ). Diện tích tam giác \( OAB \) bằng bao nhiêu?
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác \( S.ABCD \) có thể tích bằng 56 và đáy \( ABCD \) là hình bình hành. Gọi \( A_1, B_1, C_1, D_1 \) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh bên \( SA, SB, SC, SD \) và \( S_1 \) là tâm của đáy \( ABCD \), ta được hình chóp \( S_1.A_1B_1C_1D_1 \) (như hình vẽ) có thể tích \( V_1 \). Gọi \( A_2, B_2, C_2, D_2 \) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh bên \( S_1A_1, S_1B_1, S_1C_1, S_1D_1 \) và \( S_2 \) là tâm của đáy \( A_1B_1C_1D_1 \), ta được hình chóp \( S_2.A_2B_2C_2D_2 \) có thể tích \( V_2 \). Cứ tiếp tục như vậy ta được các hình chóp \( S_3.A_3B_3C_3D_3, S_4.A_4B_4C_4D_4, \dots, S_n.A_nB_nC_nD_n \) có thể tích lần lượt là \( V_3, V_4, \dots, V_n \). Giá trị của \( \lim_{n \to +\infty} (V_1 + V_2 + \dots + V_n) \) bằng bao nhiêu?
Câu 10: Số lượng tế bào của một quần thể nấm men được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm tại thời điểm \( t \) được mô hình hóa bằng công thức \( f(t) = \frac{24}{1 + 3e^{-0,5t}} \) (đơn vị: nghìn tế bào), với \( t \ge 0 \) (đơn vị: giờ). Biết rằng hàm số \( y = f'(t) \) biểu thị tốc độ sinh trưởng của quần thể tại thời điểm \( t \). Tại thời điểm tốc độ sinh trưởng của quần thể lớn nhất, quần thể có bao nhiêu nghìn tế bào?
Câu 11: Cho hình lăng trụ \( ABCD.A'B'C'D' \) có đáy \( ABCD \) là hình vuông cạnh \( 1 \) (như hình vẽ). Biết rằng \( A'A = A'B = A'C \) và số đo góc giữa đường thẳng \( AA' \) và mặt phẳng \( (ABCD) \) bằng \( 60^\circ \). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?
Câu 12: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất theo thứ tự ba lần liên tiếp. Gọi \( A \) là biến cố: "Tổng số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc trong ba lần gieo bằng 9". Xác suất của biến cố \( A \) bằng bao nhiêu?
Câu 13: Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy \( ABCD \) là hình thoi cạnh \( 2 \) và \( \widehat{BAD} = 120^\circ \). Biết rằng cạnh bên \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABCD) \), \( SA = 2 \) và \( G \) là trọng tâm tam giác \( SAB \). Xét \( M \) là một điểm di động trên đường thẳng \( BD \) (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \( SC \) và \( GM \) bằng bao nhiêu?
Câu 14: Cho hình chóp \( S.ABC \) có đáy \( ABC \) là tam giác vuông tại \( A \), \( \widehat{ABC} = 30^\circ \); \( \widehat{SBA} = \widehat{SCA} = 90^\circ \), \( SA = 2\sqrt{7} \) và \( BC = 4 \). Gọi \( \alpha \) là số đo của góc nhị diện \( [S, BC, A] \), giá trị của \( \tan \alpha \) bằng bao nhiêu?
