Tóm tắt nội dung tài liệu: Trích đoạn 2 trang đầu tiên trong đề thi chính thức chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2024...
Trích đoạn 2 trang đầu tiên trong đề thi chính thức chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2024 - 2025 do Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Ninh tổ chức (Mã đề 0101). Nội dung bao gồm 11 câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn thuộc các chủ đề: Tính xác suất, Tỉ lệ thể tích và hình học không gian, Ứng dụng tích phân thực tế, Tiệm cận đồ thị hàm số, Hình học tọa độ Oxyz và Toán ứng dụng thực tiễn.
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
(Thí sinh chọn một phương án đúng duy nhất cho mỗi câu hỏi)
Câu 1. Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên ra 6 tấm thẻ. Xác suất để trong 6 tấm thẻ chọn ra có hai tấm thẻ mà tổng của hai số trên hai tấm thẻ đó bằng 21 là:
A. \(\dfrac{267}{323}\)
B. \(\dfrac{211}{323}\)
C. \(\dfrac{10}{323}\)
D. \(\dfrac{1}{19}\)
Câu 2. Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh bằng 2. Gọi \(E, F, M\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, AD\) và điểm \(G\) là trực tâm của tam giác \(BCD\). Giá trị \(\cos \left(\vec{GE}, \vec{MF}\right)\) bằng:
A. \(\dfrac{2}{3}\)
B. \(-\dfrac{\sqrt{2}}{6}\)
C. \(3\)
D. \(\dfrac{3}{4}\)
Câu 3. Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(2\text{ m}\) được lát gạch màu trắng và trang trí bởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ trục tọa độ \(Oxy\) với \(O\) là tâm hình vuông sao cho \(A(1;1)\) thì hai đường cong nối từ \(O\) đến \(A\) của cánh hình màu sẫm là một phần của đồ thị hàm số \(y = x^2\) và \(y = ax^3 + bx\). Giá trị của tích \(a \cdot b\) bằng bao nhiêu, biết rằng diện tích phần màu sẫm chiếm \(\dfrac{1}{3}\) diện tích mặt sàn?
A. \(-3\)
B. \(2\)
C. \(-2\)
D. \(3\)
Câu 4. Một chiếc cân đòn tay đang cân một vật có khối lượng \(m\text{ (kg)}\) được thiết kế với đĩa cân được giữ bởi bốn đoạn xích \(SA, SB, SC, SD\) sao cho \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có \(\widehat{ASC} = 90^\circ\). Biết độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích là \(5\sqrt{2}\text{ (N)}\). Lấy \(g = 10\text{ (m/s}^2\text{)}\). Khi đó giá trị của \(m\) bằng:
A. \(4\)
B. \(5\)
C. \(3\)
D. \(2\)
Câu 5. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{2x - 1 - \sqrt{x^2 + x + 3}}{x^2 - 5x + 6}\) là:
A. \(2\)
B. \(1\)
C. \(3\)
D. \(0\)
Câu 6. Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(2;0;0)\), \(B(0;3;1)\), \(C(-3;6;4)\), điểm \(M\) thuộc đoạn \(BC\) sao cho \(MC = 2MB\). Độ dài đoạn \(AM\) bằng:
A. \(\sqrt{17}\)
B. \(\sqrt{10}\)
C. \(\sqrt{29}\)
D. \(\sqrt{23}\)
Câu 7. Cho hai hàm số bậc ba \(f(x) = 3x^3 + ax^2 + bx + c\) và \(g(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + mx^2 + nx + p\). Hàm số \(y = f(x) \cdot g(x)\) có đồ thị cắt các trục tọa độ. Biết rằng \(x = 0\) là điểm cực đại của hàm số \(y = g(x)\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([0; 3]\) bằng:
A. \(-3\)
B. \(0\)
C. \(-12\)
D. \(-\dfrac{32}{9}\)
Câu 8. Một thùng chứa rượu làm bằng gỗ là một hình tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng \(8\text{ dm}\). Đường cong mặt bên của thùng là một phần của đường Elip có độ dài trục lớn bằng \(10\text{ dm}\), độ dài trục bé bằng \(6\text{ dm}\). Hỏi chiếc thùng gỗ đó đựng được bao nhiêu lít rượu?
A. \(\dfrac{1416\pi}{25}\text{ (lít)}\)
B. \(\dfrac{1516\pi}{25}\text{ (lít)}\)
C. \(\dfrac{1316\pi}{25}\text{ (lít)}\)
D. \(\dfrac{1616\pi}{25}\text{ (lít)}\)
Câu 9. Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(a\), \(AA' = 2a\), \(\widehat{A'AB} = \widehat{A'AC} = 60^\circ\). Gọi \(M\) là điểm di động trên mặt phẳng \((ABC)\) sao cho \(AM\) vuông góc với \(BB'\). Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng \(B'M\) là:
A. \(\dfrac{a\sqrt{13}}{2}\)
B. \(\dfrac{a\sqrt{33}}{3}\)
C. \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
D. \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a\)
Câu 10. Trong không gian \(Oxyz\) với đơn vị trên mỗi trục là mét, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm \(A(-2; 1; 5)\) và chuyển động đều theo đường cáp cùng hướng với \(\vec{u} = (0; -2; 6)\) với tốc độ là \(4\text{ m/s}\). Giả sử sau 5 giây kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm \(M(a; b; c)\). Giá trị của tổng \(a + 2b + c\) bằng:
A. \(12\sqrt{10}\)
B. \(9\)
C. \(6\)
D. \(5 + 2\sqrt{10}\)
Câu 11. Với mỗi số nguyên dương \(n\), lấy \(n + 6\) điểm cách đều nhau trên đường tròn. Nối mỗi điểm với các điểm cách nó hai điểm trên đường tròn để tạo ra các ngôi sao. Số đo (đơn vị độ) của góc ở đỉnh của ngôi sao khi \(n = 94\) bằng:
A. \(1{,}8^\circ\)
B. \(169{,}2^\circ\)
C. \(138{,}4^\circ\)
D. \(172{,}8^\circ\)
