Tóm tắt nội dung: Đề thi học sinh giỏi Toán cấp THCS TP Huế năm học 2025 - 2026 gồm 7 câu hỏi tự luận phân hóa cao với thời gian làm bài ...
Tóm tắt nội dung: Đề thi học sinh giỏi Toán cấp THCS TP Huế năm học 2025 - 2026 gồm 7 câu hỏi tự luận phân hóa cao với thời gian làm bài 120 phút. Đề thi bao quát nhiều mảng kiến thức nâng cao bao gồm: biến đổi đại số, phép chia đa thức có dư, bất đẳng thức đại số, bài toán chia hết và phương trình số nguyên tố, tính xác suất của số chính phương, trò chơi logic xoay vòng trạng thái trên bảng ô vuông và bài toán hình học phẳng tổng hợp về đường tròn, tứ giác nội tiếp.
ĐỀ THI CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS - TP HUẾ 2025-2026
Câu 1. (2,0 điểm) Cho \(x, y, z\) là các số thực thỏa mãn \(x+y+z=4\), \(x^2+y^2+z^2=10\) và \(xyz=-2\). Tính giá trị của biểu thức:
\[ H = \frac{1}{xy+z-3} + \frac{1}{yz+x-3} + \frac{1}{zx+y-3} \]
Câu 2. (2,0 điểm) Cho đa thức \(f(x)\), biết khi chia \(f(x)\) cho \((x+1)\) thì dư 1, khi chia \(f(x)\) cho \((x-1)\) thì dư 5 và khi chia \(f(x)\) cho \((x^2+1)\) thì dư \(2x+1\).
a) Tính giá trị biểu thức \(S = f(-1) + f(1)\).
b) Tìm đa thức dư khi chia \(f(x)\) cho \((x-1)(x+1)(x^2+1)\).
a) Tính giá trị biểu thức \(S = f(-1) + f(1)\).
b) Tìm đa thức dư khi chia \(f(x)\) cho \((x-1)(x+1)(x^2+1)\).
Câu 3. (2,0 điểm) Cho \(a, b, c\) là các số thực dương và \(abc=1\).
a) Chứng minh \(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \ge 3+a+b+c\).
b) Chứng minh:
a) Chứng minh \(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \ge 3+a+b+c\).
b) Chứng minh:
\[ \frac{1}{2a^2 + \frac{1}{b} + 1} + \frac{1}{2b^2 + \frac{1}{c} + 1} + \frac{1}{2c^2 + \frac{1}{a} + 1} \le 1 \]
Câu 4. (4,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên dương \(a, b\) sao cho \(\frac{a^3b-2}{a+1}\) và \(\frac{b^3a+1}{b-1}\) đều là các số nguyên.
b) Tìm tất cả các số nguyên tố \(p, q, r\) thỏa mãn \(\frac{p}{q} - \frac{4}{r+1} = 1\).
a) Tìm tất cả các số nguyên dương \(a, b\) sao cho \(\frac{a^3b-2}{a+1}\) và \(\frac{b^3a+1}{b-1}\) đều là các số nguyên.
b) Tìm tất cả các số nguyên tố \(p, q, r\) thỏa mãn \(\frac{p}{q} - \frac{4}{r+1} = 1\).
Câu 5. (2,0 điểm) Cho tập \(S\) gồm tất cả các số nguyên dương từ 1 đến 900. Bạn Nam chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương \(n\) bất kỳ từ tập \(S\).
a) Tính xác suất để \(n\) là số chính phương.
b) Tính xác suất để \(8n+1\) là số chính phương.
a) Tính xác suất để \(n\) là số chính phương.
b) Tính xác suất để \(8n+1\) là số chính phương.
Câu 6. (2,0 điểm) Cho một bảng ô vuông kích thước \(4 \times 4\) gồm 16 ô vuông. Trong mỗi ô vuông được đặt một bóng đèn có thể thay đổi màu thành một trong ba màu theo thứ tự (xoay vòng): xanh \(\rightarrow\) vàng \(\rightarrow\) đỏ \(\rightarrow\) xanh \(\rightarrow \dots\). Ban đầu, tất cả các bóng đèn trên bảng đều có màu xanh. Mỗi bước, ta chọn một ô vuông bất kỳ trong bảng và bấm các nút điều khiển sao cho bóng đèn tại ô được chọn và tất cả các bóng đèn nằm ở các ô cùng hàng, cùng cột với ô đó sẽ thay đổi màu một lần theo thứ tự trên.
a) Có thể xảy ra trạng thái toàn bộ 16 bóng đèn trên bảng đều màu vàng được không? Nếu có, hãy chỉ ra cách thực hiện.
b) Có thể xảy ra trạng thái chỉ có duy nhất một bóng đèn ở ô góc bên trái trên cùng của bảng có màu vàng và 15 bóng đèn còn lại đều màu xanh không? Hãy giải thích.
a) Có thể xảy ra trạng thái toàn bộ 16 bóng đèn trên bảng đều màu vàng được không? Nếu có, hãy chỉ ra cách thực hiện.
b) Có thể xảy ra trạng thái chỉ có duy nhất một bóng đèn ở ô góc bên trái trên cùng của bảng có màu vàng và 15 bóng đèn còn lại đều màu xanh không? Hãy giải thích.
Câu 7. (6,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) (\(AC > AB\)). Gọi \(M\) là trung điểm \(AC\), \(D\) và \(E\) lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ \(A\) xuống \(BM\) và \(BC\). Gọi \((O)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ADC\), \(N\) là giao điểm của \(BC\) và đường tròn \((O)\) (\(N\) khác \(C\)), \(P\) là giao điểm của đường thẳng \(ED\) và đường tròn \((O)\) (\(P\) khác \(D\)). Tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) tại \(C\) cắt đường thẳng \(AE\) tại \(Q\).
a) Chứng minh \(EDMC\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(NP\) là đường kính của đường tròn \((O)\).
c) Chứng minh \(QM\) vuông góc với \(AC\).
a) Chứng minh \(EDMC\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(NP\) là đường kính của đường tròn \((O)\).
c) Chứng minh \(QM\) vuông góc với \(AC\).
