Tóm tắt nội dung đề thi: Đề thi chọn học sinh giỏi các môn văn hóa THCS cấp thành phố năm học 2025-2026 môn Toán do Sở Giáo dục và Đào tạo T...
Đề thi chọn học sinh giỏi các môn văn hóa THCS cấp thành phố năm học 2025-2026 môn Toán do Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Cần Thơ tổ chức (thời gian làm bài 150 phút, đề gồm 02 trang). Cấu trúc đề thi gồm 7 câu hỏi tự luận với các chủ đề đa dạng:
- Biến đổi đại số & Phương trình: Rút gọn biểu thức chứa căn, giải bất đẳng thức, phương trình bậc hai chứa tham số theo hệ thức Vi-ét và phương trình vô tỷ.
- Xác suất & Đại số ứng dụng: Bài toán xác suất chọn bóng đơn giản, bài toán thực tế giải bằng cách lập hệ phương trình/tỉ lệ thức.
- Hình học: Bài toán ứng dụng thực tế xác định khoảng cách tâm đường tròn nội tiếp tam giác vuông; Bài toán hình học phẳng tổng hợp về tam giác nhọn nội tiếp đường tròn, đường cao, chứng minh phân giác, tam giác cân và tính chất vuông góc.
- Tổ hợp & Logic: Bài toán tô màu trên bảng ô vuông kích thước 3x3.
Nội dung Đề chính thức
Câu 1. (3,0 điểm) Cho biểu thức:
\[ P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} - \frac{7}{\sqrt{x}+1} - \frac{12}{x-2\sqrt{x}-3} \quad \text{với } x \ge 0; \, x \ne 9. \]
a) Rút gọn biểu thức \(P\).
b) Tìm các giá trị của \(x\) sao cho \(P^2 < 4\).
Câu 2. (3,0 điểm) Cho phương trình \(x^2 - 8x + m = 0\) (1), (với \(m\) là tham số). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1^2 - x_2^2 - 2x_1 - 2x_2 = 16\).
Câu 3. (4,0 điểm)
a) Giải phương trình \(x^2 + 5x + 8 = 2\sqrt{x+3}\) trên tập số thực.
b) Một hộp chứa 10 quả bóng màu đỏ và một số quả bóng màu vàng (các quả bóng có khối lượng và kích thước như nhau). Lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp. Biết xác suất của biến cố “Lấy được quả bóng màu đỏ” là \(\frac{2}{5}\). Hỏi trong hộp có bao nhiêu quả bóng màu vàng?
Câu 4. (2,5 điểm) Trong năm học 2025 – 2026, ở phường X có ba trường trung học cơ sở A, B, C đăng ký dự thi chọn học sinh giỏi cấp phường. Số học sinh đăng ký dự thi của các trường A, B, C lần lượt tỉ lệ với các số 2, 3, 4. Kết quả sau thi, Trường Trung học cơ sở A có 50% học sinh dự thi đạt giải, Trường Trung học cơ sở B có 40% học sinh dự thi đạt giải, Trường Trung học cơ sở C có 30% học sinh dự thi đạt giải và tổng số học sinh đạt giải của ba trường là 34. Tính số học sinh đăng ký dự thi của mỗi trường, biết rằng không có học sinh nào vắng thi.
Câu 5. (2,5 điểm) Một khu dân cư được xây dựng trên mảnh đất hình tam giác với độ dài các cạnh \(AB = 750\text{ m}\), \(AC = 1000\text{ m}\), \(BC = 1250\text{ m}\) và được bao quanh bởi ba con đường. Ở bên trong khu dân cư, người ta chọn tại điểm \(O\) cách đều ba con đường để làm một cột cờ. Hỏi cột cờ cách mỗi con đường một khoảng là bao nhiêu mét?
Câu 6. (4,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn \((O)\). Vẽ các đường cao \(AD, BE, CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại điểm \(H\). Đường thẳng \(EF\) cắt đường tròn \((O)\) tại các điểm \(M\) và \(N\) (\(M, N\) lần lượt nằm trên các cung nhỏ \(AB, AC\)).
a) Chứng minh \(EB\) là tia phân giác của góc \(MED\).
b) Chứng minh tam giác \(MAN\) cân.
c) Gọi \(K\) là giao điểm của \(BM\) và \(DF\). Chứng minh \(BF\) vuông góc với \(KN\).
Câu 7. (1,0 điểm) Cho bảng có kích thước \(3 \times 3\). Ban đầu, bạn An chọn tùy ý hai ô và tô đỏ hai ô đó. Ở mỗi bước tiếp theo, bạn An tô đỏ tất cả các ô vuông có chung cạnh với ít nhất một ô đỏ trước đó. Gọi \(k\) là số bước để sau \(k\) bước đó, tất cả các ô vuông trong bảng đều được tô màu đỏ (không tính bước tô đỏ hai ô vuông lúc ban đầu). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(k\).
