Tổng hợp đề thi chính thức kỳ thi học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán lớp 9 tại Hà Nội năm học 2025-2026. Nội dung tài liệu bao gồm...
Tổng hợp đề thi chính thức kỳ thi học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán lớp 9 tại Hà Nội năm học 2025-2026. Nội dung tài liệu bao gồm các bài toán phân loại cao về phương trình, bất đẳng thức, hình học phẳng và số học, đi kèm đáp án giải chi tiết cho các bài tập Đại số đầu tiên giúp học sinh rèn luyện tư duy toán học.
Đề thi chính thức HSG Toán 9 Hà Nội 2025 - 2026
Bài I (5,0 điểm)
1) Giải phương trình: \(x + 4\sqrt{5-x} = 9\).
2) Cho \(a, b, c\) là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn \((a^2+1)(b+c) = (b^2+1)(c+a) = -10\). Tính giá trị của biểu thức \(P = (a+b)(b+c)(c+a)\).
Bài II (5,0 điểm)
1) Một tiệm bánh ngọt dự định sản xuất hai loại bánh cho một đơn hàng. Lượng đường cần cho mỗi chiếc bánh loại I và loại II lần lượt là 40g và 60g. Lợi nhuận thu được khi bán mỗi chiếc bánh loại I và loại II lần lượt là 12 nghìn đồng và 15 nghìn đồng. Biết rằng tiệm chỉ còn 14kg đường để làm bánh và tiệm phải làm ít nhất 80 chiếc bánh loại I và 100 chiếc bánh loại II. Hỏi tiệm nên làm bao nhiêu chiếc bánh mỗi loại để lợi nhuận thu được là lớn nhất?
2) Cho các số nguyên dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a^2 - 6b^2 = 1\) và \(a^2 + 4ab + 4b^2 = 11c + 1\). Chứng minh \(c\) chia hết cho 40.
Bài III (2,0 điểm)
Với \(a, b, c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a+b+c=1\), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[ P = \frac{a(1-b)}{3-a} + \frac{b(1-c)}{3-b} + \frac{c(1-a)}{3-c} \]
Bài IV (6,0 điểm)
Cho tam giác nhọn \(ABC\) (\(AB < AC\)), các đường cao \(AD, BE, CF\) đồng quy tại điểm \(H\).
1) Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Chứng minh bốn điểm \(D, F, E, I\) cùng thuộc một đường tròn.
2) Đường thẳng \(DF\) cắt đường thẳng \(BH\) tại điểm \(K\). Gọi \(L\) là điểm đối xứng với điểm \(K\) qua điểm \(H\). Gọi \(P\) là giao điểm của đường thẳng \(IE\) và đường thẳng \(CH\). Chứng minh đường thẳng \(LP\) song song với đường thẳng \(HI\).
3) Đường thẳng qua điểm \(B\) và vuông góc với \(AB\) cắt đường trung trực của đoạn thẳng \(BE\) tại điểm \(G\). Gọi \(Q\) là điểm đối xứng với điểm \(D\) qua điểm \(H\). Chứng minh \(\widehat{EQL} = \widehat{EGC}\).
Bài V (2,0 điểm)
1) Tìm tất cả các số nguyên tố \(p, q\) để \(pq+p+4\) và \(pq+q+4\) đồng thời là các số chính phương.
2) Hai bạn An và Bình cùng nhau tiết kiệm tiền để ủng hộ người nghèo. Biết rằng hai bạn bắt đầu tiết kiệm cùng một ngày. Sau 365 ngày, mỗi bạn đều tiết kiệm được một triệu đồng. Chứng minh trong 365 ngày nói trên, tồn tại 183 ngày mà tổng số tiền mỗi bạn tiết kiệm được trong 183 ngày đó không nhỏ hơn 500000 đồng.
Lời giải chi tiết (Bài I)
Bài I:
1) Điều kiện xác định: \(x \le 5\). Phương trình đã cho tương đương:
\[ (5-x) - 4\sqrt{5-x} + 4 = 0 \]
hay
\[ \left(\sqrt{5-x} - 2\right)^2 = 0 \iff \sqrt{5-x} = 2 \]
Giải ra tìm được \(x = 1\). Thử lại nghiệm này thỏa mãn phương trình. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 1\).
2) Từ giả thiết \((a^2+1)(b+c) = (b^2+1)(c+a)\), khai triển ta có:
\[ a^2b + a^2c + b + c = b^2c + b^2a + c + a \]
Chuyển vế ta thu được:
\[ a^2b + a^2c + b + c - b^2c - b^2a - c - a = 0 \]
\[ (a^2b - b^2a) + (a^2c - b^2c) + (b - a) = 0 \]
\[ ab(a-b) + c(a-b)(a+b) - (a-b) = 0 \]
\[ (a-b)(ab + ca + cb - 1) = 0 \]
Lưu ý rằng \(a, b, c\) là đôi một phân biệt nên \(a - b \ne 0\), suy ra \(ab + bc + ca = 1\).
Suy ra:
\[ a^2 + 1 = a^2 + ab + bc + ca = (a+b)(a+c) \]
Do đó:
\[ -10 = (a^2+1)(b+c) = (a+b)(b+c)(c+a) \]
Vậy \(P = -10\).
