Tài liệu bao gồm đề thi chính thức Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán lớp 9 năm học 2025 - 2026 do Sở Giáo dục và Đào ...
I. ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Câu 1 (1,5 điểm).
a) Rút gọn biểu thức \(A = \frac{\sqrt{8}}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}} - \sqrt{5 - (\sqrt{6} + \sqrt{2})\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}}\).
b) Cho \(a, b\) là hai số thực dương phân biệt thỏa mãn \(\frac{a^2 + b\sqrt{ab}}{a + \sqrt{ab}} + \frac{a\sqrt{a} - 3a\sqrt{b} + 2b\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = 0\). Tính giá trị của biểu thức \(B = \frac{a + b}{a - b}\).
Câu 2 (1,5 điểm).
Một hộp kín đựng 5 quả bóng có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số 1; 2; 3; 4; 5. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng từ hộp, quả bóng được lấy ra lần đầu không trả lại vào hộp. Quan sát hai số ghi trên hai quả bóng được lấy ra.
a) Mô tả không gian mẫu của phép thử và các kết quả thuận lợi cho biến cố \(E\): “Số ghi trên quả bóng được lấy ra lần đầu nhỏ hơn số ghi trên quả bóng được lấy ra lần sau”.
b) Tính xác suất của biến cố \(F\): “Tích hai số ghi trên hai quả bóng được lấy ra là nghiệm của bất phương trình \(16 - \sqrt{5}x < 0\)”.
Câu 3 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình \(\frac{1}{3x^2} + \frac{1}{x^2 - 12x + 40} = \frac{1}{x^2 - 3x + 10}\).
b) Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 36 ngày thì xong. Nếu đội thứ nhất làm trong 6 ngày và đội thứ hai làm trong 18 ngày thì chỉ hoàn thành được 30% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu? (Giả sử năng suất mỗi đội là không đổi).
Câu 4 (1,5 điểm).
a) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \((P): y = \frac{1}{2}x^2\) và đường thẳng \((d): y = x + 4\). Gọi \(A, B\) là các giao điểm của \((d)\) và \((P)\), trong đó \(A\) có hoành độ âm; \(C\) là giao điểm của \((d)\) và trục hoành. Một điểm \(M\) thay đổi trên đường tròn tâm \(O\), bán kính \(OA\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = \sqrt{2}MB - MC\).
b) Cho các số nguyên \(a, b, c\) lớn hơn 1 thỏa mãn \(a(abc + 2c - b^2) = a + 2b - 3c\). Chứng minh rằng \(abc\) là bình phương một số nguyên.
Câu 5 (3,5 điểm).
Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(BC = 2R\). Gọi \(H\) là điểm nằm trên đoạn thẳng \(OB\) (\(H\) không trùng với \(O\) và \(B\)). Đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại \(H\) cắt nửa đường tròn đã cho tại \(A\). Gọi \(D\) là điểm nằm trên đoạn thẳng \(AC\) sao cho \(DH = AH\). Đường thẳng \(HD\) cắt các đường thẳng \(AB\) và \(AO\) lần lượt tại \(E\) và \(I\).
a) Chứng minh rằng \(OA\) vuông góc với \(ED\) và \(AD^2 = 2DI \cdot DH\).
b) Gọi \(K\) là giao điểm của \(AH\) và \(EC\); \(F\) là giao điểm của \(AO\) và \(BD\). Chứng minh rằng tam giác \(AKE\) đồng dạng với tam giác \(AFD\) và \(KF\) song song với \(AB\).
c) Tìm vị trí điểm \(H\) trên đoạn thẳng \(OB\) sao cho diện tích tứ giác \(ABKC\) bằng \(\frac{2\sqrt{3}R^2}{3}\).
II. HƯỚNG DẪN CHẤM (TRÍCH TRANG 2)
Câu 1 (1,5 điểm):
a) (0,75 điểm)
Ta có: \[\frac{\sqrt{8}}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{2})^2 - 3} = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}\]
\[(\sqrt{6} + \sqrt{2})\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)\sqrt{(3 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)(3 - \sqrt{3}) = 2\sqrt{6}\]
Suy ra: \[A = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1 + 2\sqrt{2}\]
b) (0,75 điểm)
Ta có biến đổi:
\[\frac{a^2 + b\sqrt{ab}}{a + \sqrt{ab}} + \frac{a\sqrt{a} - 3a\sqrt{b} + 2b\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{a}(a - 3\sqrt{ab} + 2b)}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\]
\[= \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} - 2\sqrt{b})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = a - \sqrt{ab} + b + a - 2\sqrt{ab} = 2a - 3\sqrt{ab} + b\]
\[= (\sqrt{a} - \sqrt{b})(2\sqrt{a} - \sqrt{b})\]
Từ giả thiết, ta có \((\sqrt{a} - \sqrt{b})(2\sqrt{a} - \sqrt{b}) = 0 \Rightarrow 2\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0\) (do \(a \neq b\)) nên \(b = 4a\).
Thay vào biểu thức \(B\): \[B = \frac{a + b}{a - b} = \frac{a + 4a}{a - 4a} = -\frac{5}{3}\]
