Tóm tắt nội dung: Tài liệu trình bày hệ thống lý thuyết cốt lõi về bất đẳng thức, các tính chất cơ bản cùng 4 dạng đích quan trọng trong p...
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản
Cho hai biểu thức \(A\) và \(B\). Theo định nghĩa:
\[A \ge B \Leftrightarrow A - B \ge 0, \quad A > B \Leftrightarrow A - B > 0.\]
Từ định nghĩa suy ra các tính chất được dùng thường xuyên với \(a, b, c, d\) là các số thực:
- Bắc cầu: Nếu \(a \ge b\) và \(b \ge c\) thì \(a \ge c\).
- Cộng một số vào hai vế: \(a \ge b \Leftrightarrow a + c \ge b + c\).
- Nhân hai vế với một số: Nếu \(c > 0\) thì \(a \ge b \Leftrightarrow ac \ge bc\); nếu \(c < 0\) thì \(a \ge b \Leftrightarrow ac \le bc\) (Phép nhân với số âm làm đổi chiều bất đẳng thức).
- Cộng vế theo vế: Nếu \(a \ge b\) và \(c \ge d\) thì \(a + c \ge b + d\). Lưu ý: Không được trừ vế theo vế hai bất đẳng thức cùng chiều.
- Nhân vế theo vế: Nếu \(a \ge b \ge 0\) và \(c \ge d \ge 0\) thì \(ac \ge bd\).
- Luỹ thừa và căn: Nếu \(a \ge b \ge 0\) thì \(a^n \ge b^n\) và \(\sqrt[n]{a} \ge \sqrt[n]{b}\) với mọi số nguyên dương \(n\).
- Nghịch đảo: Nếu \(a \ge b > 0\) thì \(\frac{1}{a} \le \frac{1}{b}\).
2. Bốn dạng đích của phép biến đổi tương đương
Giả sử cần chứng minh \(A \ge B\). Tư tưởng của phương pháp biến đổi tương đương là đưa bất đẳng thức đó về một bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Bốn dạng đích thường gặp là:
- Dạng hiệu không âm: \(A \ge B \Leftrightarrow A - B \ge 0\), rồi chỉ ra \(A - B\) là một biểu thức không âm.
- Dạng tổng bình phương: \(A - B = mX^2 + nY^2 + kZ^2\) với \(m, n, k\) là các số dương. Đây là dạng đích quan trọng nhất của chương.
- Dạng tích các thừa số cùng dấu: \(A - B = X \cdot Y\) với \(X, Y\) cùng dấu, hoặc \(A - B = X^{2n} \cdot Y\) với \(Y \ge 0\).
- Dạng khai thác điều kiện ràng buộc: Nếu giả thiết cho \(x, y, z \in [\alpha; \beta]\) thì các bất đẳng thức sau luôn đúng và thường được dùng làm điểm xuất phát:
\[(x - \alpha)(x - \beta) \le 0, \quad (x - \alpha)(y - \alpha)(z - \alpha) \ge 0, \quad (\beta - x)(\beta - y)(\beta - z) \ge 0.\]
3. Các hằng đẳng thức biến đổi nền tảng
\[a^2 + b^2 = \frac{(a + b)^2 + (a - b)^2}{2}\]
\[(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)\]
\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)\]
\[(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc\]
B. BỔ ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG
Bổ đề 1.1 (Các hằng bất đẳng thức nền). Với mọi số thực \(a, b, c\) ta luôn có:
\[a^2 \ge 0, \quad (a - b)^2 \ge 0, \quad a^2 + b^2 \ge 2ab, \quad (a + b)^2 \ge 4ab\]
\[a^2 + ab + b^2 \ge 0, \quad a^2 - ab + b^2 \ge \frac{(a + b)^2}{4}, \quad a^2 + ab + b^2 \ge \frac{3(a + b)^2}{4}\]
\[a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca, \quad 3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a + b + c)^2 \ge 3(ab + bc + ca)\]
Bất đẳng thức \(a^2 \ge 0\) có dấu đẳng thức khi và chỉ khi \(a = 0\); các bất đẳng thức hai biến còn lại có dấu đẳng thức khi và chỉ khi \(a = b\); các bất đẳng thức ba biến có dấu đẳng thức khi và chỉ khi \(a = b = c\).
Lời giải / Chứng minh Bổ đề 1.1
Toàn bộ Bổ đề trên được suy ra từ hai đồng nhất thức:
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
\[2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\]
- Khai thác đồng nhất thức thứ nhất: Đồng nhất thức thứ nhất cho \(a^2 + b^2 \ge 2ab\), và cũng cho \((a + b)^2 - 4ab = (a - b)^2 \ge 0\).
- Khai thác đồng nhất thức thứ hai: Đồng nhất thức thứ hai cho \(a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca\); hai bất đẳng thức ba biến còn lại theo sau vì:
\[3(a^2 + b^2 + c^2) - (a + b + c)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)\]
\[(a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca\]
- Hạ xuống hai biến: Lấy \(c = 0\) trong đồng nhất thức thứ hai rồi thay \(b\) bởi \(-b\) thì được \(a^2 + ab + b^2 \ge 0\).
- Hai đánh giá cuối: Cuối cùng,
\[4\left(a^2 - ab + b^2 - \frac{(a + b)^2}{4}\right) = 3(a - b)^2\]
\[4\left(a^2 + ab + b^2 - \frac{3(a + b)^2}{4}\right) = (a - b)^2\]
nên hai bất đẳng thức hai biến còn lại cũng đúng.
