Tóm tắt kiến thức & Kỹ năng: Chuyên đề tập trung rèn luyện kỹ năng biến đổi lượng giác dựa trên các hệ thức cơ bản, công thức cộng, cô...
A. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Rút gọn biểu thức \(M = \cos 2x \cos x + \sin 2x \sin x\) ta được kết quả là:
A. \(M = \cos x\)
B. \(M = \cos 3x\)
C. \(M = \sin x\)
D. \(M = \sin 3x\)
Lời giải:
Chọn A
Ta có: \(M = \cos 2x \cos x + \sin 2x \sin x = \cos(2x - x) = \cos x\).
Câu 2. Rút gọn biểu thức \(\cos(120^\circ - x) + \cos(120^\circ + x) - \cos x\) ta được kết quả là:
A. \(0\)
B. \(-\cos x\)
C. \(-2\cos x\)
D. \(\sin x - \cos x\)
Lời giải:
Chọn C
\(\cos(120^\circ - x) + \cos(120^\circ + x) - \cos x = 2\cos 120^\circ \cos x - \cos x = 2\left(-\frac{1}{2}\right)\cos x - \cos x = -2\cos x\).
Câu 3. Biết \(\sin a = \frac{5}{13}\), \(\cos b = \frac{3}{5}\), \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\), \(0 < b < \frac{\pi}{2}\). Kết quả của biểu thức \(\sin(a + b)\) bằng:
A. \(0\)
B. \(\frac{63}{65}\)
C. \(\frac{56}{65}\)
D. \(-\frac{33}{65}\)
Lời giải:
Chọn D
+ Vì \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\) nên \(\cos a < 0 \Rightarrow \cos a = -\sqrt{1 - \sin^2 a} = -\sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = -\frac{12}{13}\).
+ Vì \(0 < b < \frac{\pi}{2}\) nên \(\sin b > 0 \Rightarrow \sin b = \sqrt{1 - \cos^2 b} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}\).
Khi đó: \(\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b = \frac{5}{13} \cdot \frac{3}{5} + \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \frac{4}{5} = -\frac{33}{65}\).
Câu 4. Trong các công thức sau, công thức nào sai?
A. \(\cos 6a = \cos^2 3a - \sin^2 3a\)
B. \(\cos 6a = 1 - 2\sin^2 3a\)
C. \(\cos 6a = 1 - 6\sin^2 a\)
D. \(\cos 6a = 2\cos^2 3a - 1\)
Lời giải:
Chọn C
Ta có \(\cos 6a = \cos(2 \cdot 3a) = \cos^2 3a - \sin^2 3a = 2\cos^2 3a - 1 = 1 - 2\sin^2 3a\) nên đáp án C sai.
Câu 5. Đẳng thức nào không đúng với mọi \(x\)?
A. \(\cos^2 3x = \frac{1 + \cos 6x}{2}\)
B. \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\)
C. \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\)
D. \(\sin^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}\)
Lời giải:
Chọn D
Ta có công thức hạ bậc đúng là: \(\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}\).
Câu 6. Nếu \(\sin x + \cos x = \frac{1}{2}\) thì \(\sin 2x\) bằng:
A. \(\frac{3}{4}\)
B. \(\frac{3}{8}\)
C. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
D. \(-\frac{3}{4}\)
Lời giải:
Chọn D
Do \(\sin x + \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow (\sin x + \cos x)^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = \frac{1}{4} \Rightarrow 1 + \sin 2x = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin 2x = -\frac{3}{4}\).
Câu 7. Biết rằng \(\frac{1}{\cos^2 x - \sin^2 x} + \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{\cos(ax)}{b - \sin(ax)}\) (với \(a, b \in \mathbb{R}\)). Tính giá trị của biểu thức \(P = a + b\).
A. \(P = 4\)
B. \(P = 1\)
C. \(P = 2\)
D. \(P = 3\)
Lời giải:
Chọn D
Ta có: \(\frac{1}{\cos^2 x - \sin^2 x} + \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{1}{\cos 2x} + \tan 2x = \frac{1}{\cos 2x} + \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{1 + \sin 2x}{\cos 2x}\)
\(= \frac{(1 + \sin 2x)\cos 2x}{\cos^2 2x} = \frac{(1 + \sin 2x)\cos 2x}{1 - \sin^2 2x} = \frac{(1 + \sin 2x)\cos 2x}{(1 - \sin 2x)(1 + \sin 2x)} = \frac{\cos 2x}{1 - \sin 2x}\).
Vậy \(a = 2, b = 1\). Suy ra \(P = a + b = 3\).
Câu 8. Biết \(\sin\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) + \cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = \sqrt{2}\). Tính \(\sin(\alpha + \pi) - 2\cos(\alpha - \pi)\).
A. \(\frac{3}{\sqrt{2}}\)
B. \(-\frac{3}{\sqrt{2}}\)
C. \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
D. \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Lời giải:
Chọn B
Ta có:
\(\sin\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(\alpha + 2\pi - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha\).
\(\cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\alpha + 2\pi - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha\).
Suy ra: \(\sin\alpha - \cos\alpha = \sqrt{2} \Rightarrow \sin\alpha = \cos\alpha + \sqrt{2}\).
Vì \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \Rightarrow (\cos\alpha + \sqrt{2})^2 + \cos^2\alpha = 1 \Rightarrow 2\cos^2\alpha + 2\sqrt{2}\cos\alpha + 1 = 0 \Rightarrow \cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}\).
Từ đó suy ra \(\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
Khi đó: \(\sin(\alpha + \pi) - 2\cos(\alpha - \pi) = -\sin\alpha - 2(-\cos\alpha) = -\sin\alpha + 2\cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}} + 2\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{3}{\sqrt{2}}\).
