Tóm tắt trọng tâm: Các câu hỏi trắc nghiệm Đúng - Sai về chủ đề hàm phân thức hữu tỉ dạng \(y = \frac{ax^2+bx+c}{px+q}\) tập trung kiểm tr...
Tóm tắt trọng tâm: Các câu hỏi trắc nghiệm Đúng - Sai về chủ đề hàm phân thức hữu tỉ dạng \(y = \frac{ax^2+bx+c}{px+q}\) tập trung kiểm tra toàn diện các kiến thức: tập xác định, đường tiệm cận đứng, tiệm cận xiên, tâm đối xứng, tính đơn điệu, các điểm cực trị cũng như sự tương giao của đồ thị với các đường thẳng và trục tọa độ.
Dạng 1: Khảo sát và tính chất đồ thị hàm phân thức
Câu 1: Cho hàm số \(y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}\) có đồ thị \((C)\).
a) Hàm số đồng biến trên khoảng \((-2; 0)\).
b) Hàm số có hai điểm cực trị.
c) Đồ thị \((C)\) không cắt trục \(Ox\).
d) Đồ thị \((C)\) có tiệm cận xiên đi qua điểm \(A(1; 2)\).
Lời giải:
Bảng đáp án: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai
Ta viết lại hàm số: \(y = x + 1 + \frac{1}{x + 1}\).
Đạo hàm: \(y' = 1 - \frac{1}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = -2\).
Phương trình \(y = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x + 2 = 0\) (vô nghiệm), do đó phương trình hoành độ giao điểm với \(Ox\) luôn có nghiệm thực? Xét lại: \(\Delta' = 1 - 2 = -1 < 0\), nên đồ thị thực chất không cắt trục \(Ox\). Phương trình phân thức có \(x^2 + 2x + 2 = 0\) luôn vô nghiệm nên đồ thị cắt hay không cắt trục hoành cần kiểm tra chính xác.
Tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng \(y = x + 1\). Thay tọa độ \(A(1; 2)\) vào phương trình tiệm cận xiên: \(2 = 1 + 1\) (đúng). Do đó tiệm cận xiên đi qua điểm \(A(1; 2)\).
Dạng 2: Cực trị và tiệm cận của hàm số
Câu 2: Cho hàm số \(y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}\) có đồ thị \((C)\).
a) Đồ thị \((C)\) có tiệm cận xiên là \(y = x\).
b) Đồ thị \((C)\) nhận giao điểm \(I(1; 1)\) làm tâm đối xứng.
c) Đồ thị \((C)\) có hai điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục \(Oy\).
d) Đồ thị không cắt trục \(Ox\).
Lời giải:
Bảng đáp án: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai
Ta có: \(y = x + \frac{1}{x - 1}\).
+ Tiệm cận xiên là \(y = x\). Vậy a) Đúng.
+ Tiệm cận đứng là \(x = 1\). Giao điểm hai đường tiệm cận là \(I(1; 1)\) chính là tâm đối xứng của đồ thị \((C)\). Vậy b) Đúng.
+ Đạo hàm \(y' = 1 - \frac{1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}\). Phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\). Tích hai nghiệm \(x_1 x_2 = 0\)? Không, \(x_1 = 0\) thuộc trục \(Oy\), hai điểm cực trị có hoành độ \(x=0\) và \(x=2\) nằm về hai phía đối với đường thẳng \(x=1\).
Dạng 3: Xác định mệnh đề Đúng/Sai tổng hợp
Câu 3: Cho hàm số \(y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2}\). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
a) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(y = x + 1\).
b) Hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
c) Đồ thị hàm số đã cho nhận điểm \(I(-2; -1)\) làm tâm đối xứng.
d) Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
Lời giải:
Bảng đáp án: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng
Biến đổi hàm số: \(y = x + 1 + \frac{1}{x + 2}\).
+ Tiệm cận xiên: \(y = x + 1\) (Đúng).
+ Tiệm cận đứng: \(x = -2\). Giao điểm hai đường tiệm cận là \(I(-2; -1)\) (Đúng).
+ Đạo hàm \(y' = 1 - \frac{1}{(x + 2)^2}\). Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow (x+2)^2 = 1 \Leftrightarrow x = -1\) hoặc \(x = -3\). Hàm số có 2 điểm cực trị (Đúng).
+ Do bậc tử lớn hơn bậc mẫu nên đồ thị không có tiệm cận ngang (Đúng).
