Tài liệu tổng hợp các câu hỏi trắc nghiệm đúng/sai trọng tâm về tính đơn điệu của hàm số dành cho học sinh lớp 12. Bài viết phân loại các d...
I. Nhận Biết Tính Đơn Điệu Qua Bảng Biến Thiên Và Đồ Thị
Câu 1: Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-3\) | \(-2\) | \(+\infty\) | |
| \(y'\) | + | 0 | + | 0 | - |
| \(y\) | Tăng từ \(-\infty\) đến 0 | Tăng từ 0 đến 5 tại \(x=-2\) | Giảm về \(-\infty\) | ||
Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \((-\infty; -3)\) và \((-3; -2)\).
b) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-\infty; 5)\).
c) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((-2; +\infty)\).
d) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-\infty; -2)\).
Lời giải:
a) Đúng: Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy \(y' > 0\) trên các khoảng \((-\infty; -3)\) và \((-3; -2)\) nên hàm số đồng biến trên các khoảng này.
b) Sai: Các khoảng đồng biến của hàm số phải xét trên tập giá trị của biến số \(x\), không phải trên trục giá trị \(y\).
c) Đúng: Trên khoảng \((-2; +\infty)\), ta có \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến.
d) Đúng: Đạo hàm \(y' \ge 0\) trên \((-\infty; -2)\) và \(y'=0\) chỉ tại điểm cô lập \(x = -3\), do đó hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty; -2)\).
Câu 2: Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-3\) | \(0\) | \(3\) | \(+\infty\) | ||
| \(y'\) | + | 0 | - | || | - | 0 | + |
Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty; 0)\).
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-3; 0)\).
c) Hàm số đồng biến trên khoảng \((-3; 3)\).
d) Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0; 3)\).
Lời giải:
a) Sai: Trên khoảng \((-\infty; 0)\), đạo hàm \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm tại \(x = -3\) nên hàm số không đồng biến trên khoảng này.
b) Đúng: Với mọi \(x \in (-3; 0)\), ta có \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \((-3; 0)\).
c) Sai: Hàm số không xác định tại \(x = 0\) và nghịch biến trên các khoảng \((-3; 0)\) cũng như \((0; 3)\).
d) Đúng: Với mọi \(x \in (0; 3)\), ta có \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \((0; 3)\).
II. Bài Toán Tính Đơn Điệu Chứa Tham Số M
Câu 3: Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m^2 - 4)x + 3\) (với \(m\) là tham số). Khi đó:
a) Khi \(m = 0\) thì hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
b) Đạo hàm của hàm số là \(y' = x^2 - 2mx + m^2 - 4\).
c) Có 3 giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
d) Có 6 giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Lời giải:
a) Sai: Với \(m = 0\), ta có \(y' = x^2 - 4\). Phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm \(x = \pm 2\) nên hàm số không đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
b) Đúng: Đạo hàm \(y' = \left(\frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m^2 - 4)x + 3\right)' = x^2 - 2mx + m^2 - 4\).
c) Sai: Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(y' \ge 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta' = m^2 - (m^2 - 4) \le 0 \Leftrightarrow 4 \le 0\) (vô lý). Do đó không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn.
d) Sai: Do không tồn tại giá trị \(m\) nào thỏa mãn nên mệnh đề này sai.
Câu 4: Cho hàm số \(y = \frac{mx - 2}{x - m + 1}\) (với \(m\) là tham số). Khi đó:
a) Khi \(m = 2\) thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
b) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số nghịch biến trên khoảng \((2; +\infty)\) là \(m \in (-1; 2)\).
c) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên khoảng \((2; +\infty)\) là \(m \in (2; +\infty)\).
Lời giải:
Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{m - 1\}\).
Ta có đạo hàm: \(y' = \frac{m(-m + 1) - (-2)}{(x - m + 1)^2} = \frac{-m^2 + m + 2}{(x - m + 1)^2}\).
a) Đúng: Với \(m = 2\), \(y' = \frac{-2^2 + 2 + 2}{(x - 1)^2} = 0\) (không thỏa mãn nghịch biến), tuy nhiên xét điều kiện nghịch biến tổng quát: \(y' < 0 \Leftrightarrow -m^2 + m + 2 < 0 \Leftrightarrow m < -1\) hoặc \(m > 2\).
b) Sai: Hàm số nghịch biến trên \((2; +\infty)\) khi và chỉ khi:
\(\begin{cases} -m^2 + m + 2 < 0 \\ m - 1 \le 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < -1 \text{ hoặc } m > 2 \\ m \le 3 \end{cases} \Leftrightarrow m < -1\) hoặc \(2 < m \le 3\).
c) Sai: Hàm số đồng biến trên \((2; +\infty)\) khi và chỉ khi:
\(\begin{cases} -m^2 + m + 2 > 0 \\ m - 1 \le 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -1 < m < 2 \\ m \le 3 \end{cases} \Leftrightarrow -1 < m < 2\).
