Bài viết tổng hợp đầy đủ các định nghĩa, phương trình chính tắc cùng các tính chất hình học quan trọng của hai đường conic tiêu biểu là Eli...
1. Đường Elip
Định nghĩa 9.1
Cho hai điểm cố định và phân biệt \(F_1, F_2\). Đặt \(F_1F_2 = 2c > 0\). Với số \(a > c\), tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MF_1 + MF_2 = 2a\) được gọi là đường elip.
Hai điểm \(F_1, F_2\) được gọi là hai tiêu điểm và \(F_1F_2 = 2c\) được gọi là tiêu cự của elip.
Định nghĩa 9.2 (Phương trình chính tắc và các thuộc tính)
Cho elip có phương trình chính tắc là:
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad \text{với } a > b > 0\]- \(c^2 = a^2 - b^2\).
- Tiêu điểm của elip là \(F_1(-c; 0), F_2(c; 0)\).
- Tiêu cự của elip là \(2c\).
- Elip có hai trục đối xứng là \(Ox, Oy\) và tâm đối xứng là gốc tọa độ \(O\).
- Elip có các đỉnh là \(A_1(-a; 0), A_2(a; 0), B_1(0; -b), B_2(0; b)\).
- Độ dài trục lớn của elip là \(A_1A_2 = 2a\).
- Độ dài trục bé của elip là \(B_1B_2 = 2b\).
- Hình chữ nhật cơ sở của elip có bốn đỉnh là \(P(-a; b), Q(-a; -b), R(a; -b)\) và \(S(a; b)\).
- Với điểm \(M(x; y)\) thuộc elip, bán kính qua tiêu của \(M\) là: \(MF_1 = a + \frac{c}{a}x\), \(MF_2 = a - \frac{c}{a}x\).
- Tâm sai của elip là \(e = \frac{c}{a}\).
- Các đường chuẩn của elip ứng với \(F_1\) và \(F_2\) là \(\Delta: x = \mp \frac{a}{e}\).
2. Đường Hypebol
Định nghĩa 9.3
Cho hai điểm cố định và phân biệt \(F_1, F_2\). Đặt \(F_1F_2 = 2c > 0\). Với số \(a > 0\) và \(a \lt c\), tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(|MF_1 - MF_2| = 2a\) được gọi là đường hypebol.
Hai điểm \(F_1, F_2\) được gọi là hai tiêu điểm và \(F_1F_2 = 2c\) được gọi là tiêu cự của hypebol.
Định nghĩa 9.4 (Phương trình chính tắc và các thuộc tính)
Cho hypebol có phương trình chính tắc là:
\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad \text{với } a, b > 0\]- \(c^2 = a^2 + b^2\).
- Hypebol có hai tiêu điểm là \(F_1(-c; 0)\) và \(F_2(c; 0)\).
- Tiêu cự của hypebol là \(2c\).
- Hypebol có hai đỉnh là \(A_1(-a; 0)\) và \(A_2(a; 0)\).
- Hypebol có hai trục đối xứng là \(Ox\) và \(Oy\), và có tâm đối xứng là gốc tọa độ \(O\).
- Trục \(Ox\) được gọi là trục thực và trục \(Oy\) được gọi là trục ảo.
- Độ dài trục thực của hypebol là \(2a\).
- Độ dài trục ảo của hypebol là \(2b\).
- Hình chữ nhật cơ sở có đỉnh là \((-a; b), (-a; -b), (a; -b), (a; b)\).
- Hypebol có hai đường tiệm cận có phương trình là \(y = \pm \frac{b}{a}x\).
- Với điểm \(M(x; y)\) thuộc hypebol, bán kính qua tiêu của \(M\) là: \(MF_1 = \left| a + \frac{c}{a}x \right|\), \(MF_2 = \left| a - \frac{c}{a}x \right|\).
- Tâm sai của hypebol là \(e = \frac{c}{a}\).
