Tóm tắt nội dung: Kỹ thuật biến đổi trong bất đẳng thức AM-GM bao gồm các thao tác tách, ghép và thêm bớt đại lượng nhằm đưa biểu thức về ...
Tóm tắt nội dung: Kỹ thuật biến đổi trong bất đẳng thức AM-GM bao gồm các thao tác tách, ghép và thêm bớt đại lượng nhằm đưa biểu thức về dạng đánh giá chuẩn. Nguyên tắc cốt lõi là bảo toàn dấu đẳng thức (điểm rơi) qua 3 bước: dự đoán điểm rơi, chọn tham số chưa xác định và thiết lập hệ phương trình cân bằng. Bài viết cũng hệ thống hai bổ đề quan trọng là Bổ đề tổng nghịch đảo và Lược đồ ghép cặp đối xứng.
1. Kiến thức trọng tâm: Bất đẳng thức AM–GM
Cho \(n\) số thực không âm \(x_1, x_2, \dots, x_n\). Khi đó:
\[\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}\]
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x_1 = x_2 = \dots = x_n\). (Trong các tài liệu Việt Nam, bất đẳng thức này còn gọi là bất đẳng thức Cauchy).
Hai trường hợp riêng thông dụng:
\(x + y \ge 2\sqrt{xy} \quad (x, y \ge 0)\)
\(x + y + z \ge 3\sqrt[3]{xyz} \quad (x, y, z \ge 0)\)
Các hệ quả đánh giá thường dùng:
\((x + y)^2 \ge 4xy\)
\(\frac{x^2}{y} \ge 2x - y \quad (y > 0)\)
Lưu ý: Đánh giá thứ nhất tương đương với \((x - y)^2 \ge 0\), đánh giá thứ hai biến đổi từ \(\frac{x^2}{y} + y \ge 2x\).
2. Nguyên tắc bảo toàn dấu đẳng thức (Điểm rơi)
Mọi kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức AM–GM đều tuân theo nguyên tắc: Mỗi lần áp dụng cho một nhóm số, dấu đẳng thức của bước đó phải xảy ra đúng tại điểm rơi của bài toán ban đầu.
Quy trình 3 bước thực hiện:
1. Dự đoán điểm rơi (thường dựa vào tính đối xứng của giả thiết và biểu thức cần đánh giá).
2. Chọn cách tách hạng tử, thêm đại lượng hoặc nhân hằng số có chứa tham số chưa xác định.
3. Cho các số trong mỗi nhóm bằng nhau tại điểm rơi để giải tìm tham số.
3. Các bổ đề quan trọng
Bổ đề 3.1 (Tổng nghịch đảo): Với \(n\) số dương \(x_1, x_2, \dots, x_n\), ta có:
\[\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n} \ge \frac{n^2}{x_1 + x_2 + \dots + x_n}\]
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x_1 = x_2 = \dots = x_n\). Với \(n = 2\), ta có dạng quen thuộc: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{x + y}\).
Chứng minh Bổ đề 3.1:
Theo bất đẳng thức AM–GM cho \(n\) số:
\[(x_1 + \dots + x_n)\left(\frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_n}\right) \ge n\sqrt[n]{x_1 \dots x_n} \cdot n\sqrt[n]{\frac{1}{x_1 \dots x_n}} = n^2\]
Chia cả hai vế cho \(x_1 + \dots + x_n > 0\) ta được điều phải chứng minh.
Bổ đề 3.2 (Các lược đồ ghép cặp đối xứng): Cho \(X, Y, Z\) và \(A, B, C\) là các số không âm. Giả sử ba tích \(XY, YZ, ZX\) chặn được bình phương của ba số \(A, B, C\):
\[XY \ge A^2, \quad YZ \ge B^2, \quad ZX \ge C^2\]
Khi đó ta có: \(X + Y + Z \ge A + B + C\) và \(XYZ \ge ABC\).
Trường hợp đổi chiều: Nếu \(XY \le A^2, YZ \le B^2, ZX \le C^2\) thì \(XYZ \le ABC\).
Chứng minh Bổ đề 3.2:
• Chặn tổng: Dùng AM–GM cho hai số: \(X + Y \ge 2\sqrt{XY} \ge 2A\). Tương tự \(Y + Z \ge 2B\) và \(Z + X \ge 2C\). Cộng ba bất đẳng thức rồi chia 2 ta được \(X + Y + Z \ge A + B + C\).
• Chặn tích: Nhân ba giả thiết theo vế: \((XYZ)^2 = (XY)(YZ)(ZX) \ge A^2 B^2 C^2 = (ABC)^2 \implies XYZ \ge ABC\).
4. Các thao tác cơ bản của chương
• Tách hạng tử: Biểu diễn một hạng tử thành tổng các phần nhỏ với hệ số chưa biết, sau đó cân bằng hệ số sao cho dấu đẳng thức phù hợp với điểm rơi.
