Tài liệu tổng hợp hệ thống lý thuyết cốt lõi về bất đẳng thức Cauchy–Schwarz (Bunhiacopxki) và dạng phân thức Engel (kỹ thuật cộng mẫu). Nộ...
A. Kiến thức trọng tâm
1. Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz
Cho hai bộ số thực \(a_1, a_2, \dots, a_n\) và \(b_1, b_2, \dots, b_n\). Khi đó:
\[(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2) \ge (a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n)^2\]
Dấu đẳng thức: Xảy ra khi và chỉ khi hai bộ số phụ thuộc tuyến tính. Nếu các \(b_i \ne 0\), điều kiện ấy viết dưới dạng dãy tỉ số:
\[\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n}\]
Các trường hợp riêng thường dùng:
- Với \(n = 2\): \((a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \ge (ax + by)^2\)
- Với \(n = 3\): \((a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) \ge (ax + by + cz)^2\)
2. Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel (Kỹ thuật cộng mẫu)
Bổ đề 5.1 (Dạng Engel cho 2 số): Cho \(a, b\) là các số thực và \(x, y\) là các số dương. Khi đó:
\[\frac{a^2}{x} + \frac{b^2}{y} \ge \frac{(a + b)^2}{x + y}\]
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y}\).
Chứng minh: Vì \(x, y > 0\) nên bất đẳng thức tương đương với:
\[a^2y(x + y) + b^2x(x + y) \ge (a + b)^2xy \Leftrightarrow a^2y^2 - 2abxy + b^2x^2 \ge 0 \Leftrightarrow (ay - bx)^2 \ge 0\]
Bất đẳng thức cuối luôn đúng, dấu bằng xảy ra khi \(ay = bx\) hay \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y}\).
Bổ đề 5.2 (Bất đẳng thức Engel tổng quát): Cho \(a_1, a_2, \dots, a_n\) là các số thực và \(x_1, x_2, \dots, x_n\) là các số dương. Khi đó:
\[\frac{a_1^2}{x_1} + \frac{a_2^2}{x_2} + \dots + \frac{a_n^2}{x_n} \ge \frac{(a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2}{x_1 + x_2 + \dots + x_n}\]
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a_1}{x_1} = \frac{a_2}{x_2} = \dots = \frac{a_n}{x_n}\).
Hướng dẫn chứng minh (xét \(n = 3\)): Ghép dần các phân thức bằng cách áp dụng Bổ đề 5.1 hai lần liên tiếp:
\[\frac{a^2}{x} + \frac{b^2}{y} + \frac{c^2}{z} \ge \frac{(a + b)^2}{x + y} + \frac{c^2}{z} \ge \frac{(a + b + c)^2}{x + y + z}\]
Quy nạp theo \(n\) cho ta kết quả tổng quát.
3. Ba hệ quả thường dùng
Với mọi số thực \(a, b, c\), ta có:
\[(a + b + c)^2 \ge 3(ab + bc + ca)\]
\[3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a + b + c)^2\]
\[a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca\]
Cả ba bất đẳng thức trên đều có dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).
