Tóm tắt lý thuyết: Phương pháp phân tích bình phương S.O.S (Sum Of Squares) là kỹ thuật biến đổi hiệu hai vế của bất đẳng thức ba biến về ...
Tóm tắt lý thuyết: Phương pháp phân tích bình phương S.O.S (Sum Of Squares) là kỹ thuật biến đổi hiệu hai vế của bất đẳng thức ba biến về dạng tổng các bình phương kèm hệ số \(S_a(b-c)^2 + S_b(c-a)^2 + S_c(a-b)^2\). Nội dung tài liệu cung cấp lý thuyết nền tảng, các quy ước chỉ số, quy trình 3 bước thực hiện và hệ thống các đẳng thức phân tích cơ sở (đối xứng và hoán vị) phục vụ cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán.
CHƯƠNG 9: KỸ THUẬT PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG S.O.S
Đưa bất đẳng thức ba biến về tổng ba bình phương có hệ số, rồi chỉ còn phải xét dấu của ba hệ số ấy sau khi đã sắp thứ tự các biến.
Hầu hết các bất đẳng thức ba biến trong chương trình chuyên có dấu đẳng thức xảy ra tại \(a = b = c\). Điều đó gợi ý rằng hiệu giữa hai vế phải triệt tiêu khi ba biến bằng nhau, nên nó có thể viết được thành một tổ hợp của ba bình phương \((a - b)^2\), \((b - c)^2\), \((c - a)^2\) với các hệ số là những biểu thức của \(a, b, c\). Cách viết ấy được gọi là phân tích bình phương, viết tắt theo thông lệ quốc tế là S.O.S (Sum Of Squares). Sau khi phân tích xong, bài toán chuyển thành một bài toán mới đơn giản hơn nhiều: xét dấu ba hệ số. Chương này trình bày bảng các phân tích cơ sở, các tiêu chuẩn về dấu đủ dùng ở mức thi học sinh giỏi, và kỹ thuật sắp thứ tự biến trước khi xét dấu.
A. Kiến thức trọng tâm
Dạng S.O.S và quy ước gọi tên
Cho biểu thức \(F(a, b, c)\) thoả mãn \(F(t, t, t) = 0\) với mọi \(t\). Nếu tìm được ba biểu thức \(S_a, S_b, S_c\) của \(a, b, c\) sao cho:
\[F(a, b, c) = S_a(b - c)^2 + S_b(c - a)^2 + S_c(a - b)^2\]
thì ta nói \(F\) có một dạng S.O.S. Khi đó bất đẳng thức \(F \ge 0\) đúng nếu \(S_a, S_b, S_c\) đồng thời không âm. Bộ ba hệ số ấy nói chung không được xác định duy nhất bởi \(F\); trong sách, bộ hệ số cụ thể lập được ở mỗi lời giải được gọi là dạng chính tắc S.O.S, và đó chỉ là một quy ước gọi tên nội bộ.
- Quy ước tên chỉ số: Hệ số đứng trước \((b - c)^2\) mang tên \(S_a\), nghĩa là chỉ số ghi tên biến không xuất hiện trong bình phương tương ứng. Quy ước này giúp các tiêu chuẩn được phát biểu gọn hơn.
- Vì sao chính tắc chỉ là quy ước: Một biểu thức \(F\) có thể có nhiều bộ hệ số S.O.S khác nhau. Thật vậy, với mọi \(a, b, c\) ta có đồng nhất thức:
\[(a - b)(a - c)(b - c)^2 - (a - b)(b - c)(c - a)^2 + (b - c)(c - a)(a - b)^2 = 0\]
vì vế trái bằng \((a - b)(b - c)(a - c)[(b - c) - (a - c) + (a - b)]\) và ngoặc vuông bằng 0. Cộng ba hệ số ấy vào \(S_a, S_b, S_c\) ta được một dạng S.O.S khác của cùng một \(F\). Vì vậy chữ chính tắc ở đây chỉ có nghĩa là bộ hệ số vừa lập được trong lời giải đang xét, không hàm ý tính duy nhất. - Ba bước làm việc:
- Thứ nhất, dùng bảng phân tích cơ sở để đưa hiệu hai vế về dạng chính tắc.
- Thứ hai, sắp thứ tự các biến, chẳng hạn \(a \ge b \ge c\); điều này luôn làm được với bất đẳng thức đối xứng.
- Thứ ba, xét dấu \(S_a, S_b, S_c\) và áp dụng một tiêu chuẩn thích hợp.
- Vì sao phải sắp thứ tự: Trong đa số bài toán, ba hệ số không đồng thời không âm; thường chỉ có một hệ số có thể âm, và đó là hệ số ứng với biến lớn nhất hoặc biến nhỏ nhất. Sau khi sắp thứ tự, ta biết rõ hệ số nào có nguy cơ âm và bù trừ nó bằng hai hệ số còn lại.
Với bất đẳng thức chỉ có tính hoán vị vòng quanh, hiệu hai vế nói chung không đối xứng, nên ngoài ba bình phương còn xuất hiện tích \((a - b)(b - c)(c - a)\). Ta thống nhất các ký hiệu:
\[D = (a - b)(b - c)(c - a), \quad P = (a + b)(b + c)(c + a)\]
\[U = a^2b + b^2c + c^2a, \quad V = ab^2 + bc^2 + ca^2\]
Bảng phân tích cơ sở
Phần đối xứng. Với mọi số thực \(a, b, c\):
(A1) \(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2}\left[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\right]\)
(A2) \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = \frac{1}{2}(a + b + c)\left[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\right]\)
(A3) \((a + b)(b + c)(c + a) - 8abc = a(b - c)^2 + b(c - a)^2 + c(a - b)^2\)
(A4) \(a^3 + b^3 + c^3 + 3abc - ab(a + b) - bc(b + c) - ca(c + a) = \frac{1}{2}\left[(b + c - a)(b - c)^2 + (c + a - b)(c - a)^2 + (a + b - c)(a - b)^2\right]\)
Với \(a, b, c\) dương:
(A5) \(\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\left[\frac{(a - b)^2}{(b + c)(c + a)} + \frac{(b - c)^2}{(c + a)(a + b)} + \frac{(c - a)^2}{(a + b)(b + c)}\right]\)
Phần hoán vị. Với mọi số thực \(a, b, c\):
(H1) \(V - U = D\)
(H2) \(P = U + V + 2abc\)
(H3) \(ab^3 + bc^3 + ca^3 - a^3b - b^3c - c^3a = (a + b + c)D\)
(H4) \(V - 3abc = \frac{1}{2}\left[D + a(b - c)^2 + b(c - a)^2 + c(a - b)^2\right]\)
Với \(a, b, c\) dương:
(H5) \(\frac{a - b}{a + b} + \frac{b - c}{b + c} + \frac{c - a}{c + a} = -\frac{D}{P}\)
(H6) \(\frac{a}{a + b} + \frac{b}{b + c} + \frac{c}{c + a} = \frac{1}{2}\left(3 - \frac{D}{P}\right)\)
- Ghi chú: Vế trái của (A3) còn viết được là \(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-6abc\), vì \((a+b)(b+c)(c+a) = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 2abc\). Đẳng thức (A4) chính là dạng S.O.S của bất đẳng thức Schur bậc một; nó cho thấy ngay vì sao bất đẳng thức đó vẫn đúng dù một trong ba hệ số \(b + c - a\), \(c + a - b\), \(a + b - c\) có thể âm.
- Cách dùng: Hai đẳng thức (H1) và (H2) giữ vai trò then chốt: chúng cho phép chuyển qua lại giữa ba đại lượng \(U, V, P\) chỉ nhờ một mình \(D\). Hai đẳng thức (H5) và (H6) biến những tổng phân thức hoán vị quen thuộc thành một hằng số cộng với bội của \(D/P\), nhờ đó bài toán rút gọn về việc so sánh các bội của \(D\).
