Tóm tắt lý thuyết: Phương pháp phản chứng và nguyên lý Dirichlet là hai công cụ mạnh mẽ trong chứng minh bất đẳng thức. Nội dung tài liệu ...
I. Nội dung phương pháp phản chứng
Giả sử cần chứng minh mệnh đề \(P\). Thay vì đi thẳng từ giả thiết tới kết luận, ta tạm thời thừa nhận mệnh đề phủ định \(\bar{P}\) rồi từ \(\bar{P}\) cùng với giả thiết suy ra một điều vô lý. Vì \(\bar{P}\) dẫn tới điều vô lý nên \(\bar{P}\) sai, do đó \(P\) đúng.
- Lập mệnh đề phủ định: Viết ra mệnh đề phủ định của điều cần chứng minh và ghi rõ mệnh đề đó.
- Suy ra điều vô lý: Kết hợp mệnh đề phủ định với giả thiết, biến đổi để thu được một điều vô lý (trái với giả thiết, trái với một mệnh đề đã thừa nhận là đúng, hoặc hai hệ quả mâu thuẫn nhau).
- Kết luận: Khẳng định điều giả sử là sai, tức là mệnh đề \(P\) đúng.
- Chú ý về cách trình bày: Bước lập mệnh đề phủ định quyết định toàn bộ lời giải. Ở bước suy ra điều vô lý, phải chỉ đích danh mệnh đề bị mâu thuẫn, không được dừng lại ở một bất đẳng thức mà chỉ nói là "vô lý".
II. Lập mệnh đề phủ định trong bất đẳng thức
- Phủ định của \(A \ge B\) là \(A < B\); phủ định của \(A > B\) là \(A \le B\). Phủ định của "lớn hơn" là "nhỏ hơn hoặc bằng", không phải "nhỏ hơn".
- "Trong ba bất đẳng thức đã cho có ít nhất một bất đẳng thức đúng" có phủ định là "cả ba bất đẳng thức đã cho đều sai".
- "Trong ba bất đẳng thức đã cho có ít nhất một bất đẳng thức sai" có phủ định là "cả ba bất đẳng thức đã cho đều đúng".
- "Có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức là đúng" có phủ định là "có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức là sai".
- "Cả ba số \(a, b, c\) đều dương" có phủ định là "tồn tại ít nhất một trong ba số \(a, b, c\) không dương".
- "Không tồn tại bộ số thoả mãn các điều kiện đã nêu" có phủ định là "tồn tại một bộ số thoả mãn các điều kiện đã nêu".
III. Các bổ đề nền tảng
Bổ đề 6.1 (Đánh giá nền của phương pháp phản chứng): Với mọi số thực \(a, b, c\) ta có:
\[a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca) = \frac{(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2}{2} \ge 0\]
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\). Do đó nếu ba số \(a, b, c\) không đồng thời bằng nhau thì \(a^2 + b^2 + c^2 > ab + bc + ca\).
Ghi chú: Bổ đề trên là mệnh đề đúng thường được chọn làm đích của mâu thuẫn: một lời giải phản chứng đưa được về bất đẳng thức \(a^2 + b^2 + c^2 < ab + bc + ca\) thì đã hoàn tất.
Bổ đề 6.2 (Hai số cùng phía với một mốc - Nguyên lý Dirichlet): Cho số thực \(k\) và ba số thực \(a, b, c\) bất kỳ. Khi đó trong ba số đó luôn tồn tại hai số, chẳng hạn \(x\) và \(y\), sao cho:
\[(x - k)(y - k) \ge 0\]
Chứng minh: Xét ba hiệu \(a - k, b - k, c - k\). Mỗi hiệu hoặc không âm, hoặc âm; ba số được xếp vào hai nhóm nên có ít nhất hai số cùng nhóm. Tích của hai số cùng dấu (kể cả trường hợp một trong hai bằng 0) là một số không âm.
Hệ quả thường dùng: Nếu điểm rơi của bài toán là \(a = b = c = k\) thì ta chọn mốc đúng bằng \(k\). Với \(k = 1\) và \(c \ge 0\), từ \((a - 1)(b - 1) \ge 0\) ta nhân hai vế với \(c\) và thu được đánh giá hạ bậc:
\[abc \ge ac + bc - c\]
Đánh giá này biến hạng tử bậc ba \(abc\) thành các hạng tử bậc hai, nhờ đó bài toán quy về một bất đẳng thức quen thuộc.
IV. Sắp thứ tự và giả thiết "không mất tính tổng quát"
Bổ đề 6.2 chỉ khẳng định có hai số cùng phía với mốc, chứ không chỉ ra đó là cặp nào. Cách viết "không mất tính tổng quát, giả sử \((a - 1)(b - 1) \ge 0\)" là hợp lý khi biểu thức trong bài đối xứng hoàn toàn với ba biến, tức là không đổi qua mọi hoán vị của \(a, b, c\): khi đó việc đổi tên các biến không làm thay đổi bài toán, nên được phép gọi cặp mà bổ đề cung cấp là \((a; b)\).
Nếu biểu thức chỉ bất biến qua hoán vị vòng quanh thì không được sắp thứ tự tuỳ ý; khi đó chỉ có thể giả sử một biến cụ thể là số lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Đây là một lỗi trình bày thường gặp khi vận dụng nguyên lý Dirichlet.
