Tóm tắt nội dung: Bài viết hệ thống toàn bộ lý thuyết nền tảng về phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz bao gồm định nghĩa, dạng chính...
1. Lý thuyết cơ bản về phương trình mặt cầu
1.1. Định nghĩa mặt cầu
Tập hợp các điểm \(M\) trong không gian cách điểm \(I\) cố định một khoảng không đổi bằng \(R\) (\(R > 0\)) được gọi là mặt cầu tâm \(I\), bán kính \(R\). Ký hiệu là \(S(I; R)\).
\[S(I; R) = \{M \mid IM = R\}\]1.2. Phương trình chính tắc của mặt cầu
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(a; b; c)\) và bán kính \(R\) có phương trình:
\[(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2\]Trường hợp đặc biệt: Mặt cầu có tâm là gốc tọa độ \(O(0; 0; 0)\) có phương trình là \(x^2 + y^2 + z^2 = R^2\).
1.3. Phương trình tổng quát của mặt cầu
Phương trình có dạng:
\[x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\]- Điều kiện để là phương trình mặt cầu: \(a^2 + b^2 + c^2 - d > 0\).
- Tâm: \(I(a; b; c)\) với \(a = \frac{\text{hệ số của } x}{-2}\), \(b = \frac{\text{hệ số của } y}{-2}\), \(c = \frac{\text{hệ số của } z}{-2}\).
- Bán kính: \(R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}\).
2. Vị trí tương đối
2.1. Vị trí tương đối giữa mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)
Cho mặt cầu \((S)\) tâm \(I\), bán kính \(R\) và mặt phẳng \((P)\). Đặt \(d = d(I, (P))\).
- \(d > R \iff (P)\) và \((S)\) không có điểm chung.
- \(d = R \iff (P)\) tiếp xúc với \((S)\) tại điểm \(H\) (với \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \((P)\)). Khi đó \((P)\) được gọi là mặt phẳng tiếp diện.
- \(d < R \iff (P)\) cắt \((S)\) theo giao tuyến là một đường tròn \((C)\):
- Tâm của \((C)\) là hình chiếu vuông góc \(H\) của \(I\) lên mặt phẳng \((P)\).
- Bán kính của đường tròn giao tuyến:
\[r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{R^2 - [d(I, (P))]^2}\]
Khi \(d = 0\) (tức \(I \in (P)\)), \((P)\) cắt \((S)\) theo đường tròn lớn có bán kính \(r = R\).
2.2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu (S) và đường thẳng \(\Delta\)
Cho mặt cầu \((S)\) tâm \(I\), bán kính \(R\) và đường thẳng \(\Delta\). Đặt \(d = d(I, \Delta)\).
- \(d > R \iff \Delta\) không cắt mặt cầu \((S)\).
- \(d = R \iff \Delta\) tiếp xúc với \((S)\) tại điểm \(H\) (\(\Delta\) là tiếp tuyến của mặt cầu).
- \(d < R \iff \Delta\) cắt \((S)\) tại hai điểm phân biệt \(A, B\). Độ dài dây cung \(AB\):
\[AB = 2\sqrt{R^2 - d^2} = 2\sqrt{R^2 - [d(I, \Delta)]^2}\]
2.3. Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu
Cho hai mặt cầu \((S_1)\) tâm \(I_1\), bán kính \(R_1\) và \((S_2)\) tâm \(I_2\), bán kính \(R_2\) (\(R_1 \ge R_2\)). Đặt \(d = I_1I_2\).
| Vị trí tương đối | Hệ thức khoảng cách | Số điểm chung |
|---|---|---|
| Ở ngoài nhau | \(d > R_1 + R_2\) | Không có |
| Tiếp xúc ngoài | \(d = R_1 + R_2\) | 1 điểm chung |
| Cắt nhau | \(R_1 - R_2 < d < R_1 + R_2\) | Giao tuyến là đường tròn |
| Tiếp xúc trong | \(d = R_1 - R_2 > 0\) | 1 điểm chung |
| Chứa trong nhau | \(d < R_1 - R_2\) | Không có |
| Đồng tâm | \(d = 0 \;(I_1 \equiv I_2)\) | Không có |
2.4. Tập hợp các tiếp điểm kẻ từ một điểm ngoài mặt cầu
Từ một điểm \(M\) nằm ngoài mặt cầu \(S(I; R)\), kẻ các tiếp tuyến đến \((S)\). Tập hợp các tiếp điểm nằm trên một đường tròn nằm trong mặt phẳng vuông góc với đoạn \(IM\).
- Độ dài đoạn tiếp tuyến: \(MT = \sqrt{MI^2 - R^2}\)
- Bán kính đường tròn tập hợp tiếp điểm:
\[r = \frac{R \cdot MT}{MI} = \frac{R\sqrt{MI^2 - R^2}}{MI}\]
3. Phương pháp giải các dạng bài toán thường gặp
Dạng 1: Nhận dạng phương trình và tìm tâm, bán kính của mặt cầu
Phương pháp giải:
- Đưa phương trình về dạng chuẩn có hệ số trước \(x^2, y^2, z^2\) bằng 1.
- Xác định các hệ số \(a, b, c, d\) bằng cách chia hệ số của \(x, y, z\) cho \(-2\).
- Tính giá trị biểu thức \(a^2 + b^2 + c^2 - d\).
- Nếu \(a^2 + b^2 + c^2 - d > 0 \implies\) Đây là phương trình mặt cầu với tâm \(I(a; b; c)\) và bán kính \(R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}\).
