Bài viết tóm tắt các kiến thức cốt lõi về Phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz dựa trên bài học: khái niệm véc-tơ pháp tuyến, tích c...
1. Véc-tơ pháp tuyến và cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng
a) Véc-tơ pháp tuyến (VTPT):
Véc-tơ (\vec{n} \neq \vec{0}\) được gọi là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\) nếu giá của \(\vec{n}\) vuông góc với mặt phẳng \((\alpha)\).
Chú ý: Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một véc-tơ pháp tuyến. Nếu \(\vec{n}\) là VTPT thì \(k\vec{n}\) (với \(k \neq 0\)) cũng là VTPT của mặt phẳng đó.
b) Tích có hướng của hai véc-tơ:
Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(\vec{u} = (a; b; c)\) và \(\vec{v} = (a'; b'; c')\). Véc-tơ tích có hướng \([\vec{u}, \vec{v}]\) vuông góc với cả hai véc-tơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\), có tọa độ là:
\[[\vec{u}, \vec{v}] = (bc' - b'c; ca' - c'a; ab' - a'b) = \left( \begin{vmatrix} b & c \\ b' & c' \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} c & a \\ c' & a' \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix} \right)\]
Điều kiện để hai véc-tơ \(\vec{u}, \vec{v}\) cùng phương là \([\vec{u}, \vec{v}] = \vec{0}\).
c) Cặp véc-tơ chỉ phương (VTCP):
Hai véc-tơ \(\vec{u}, \vec{v}\) không cùng phương được gọi là cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng \((P)\) nếu giá của chúng nằm trong hoặc song song với \((P)\). Khi đó, tích có hướng \([\vec{u}, \vec{v}]\) là một véc-tơ pháp tuyến của \((P)\).
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình có dạng:
\[Ax + By + Cz + D = 0 \quad (A^2 + B^2 + C^2 \neq 0)\]được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Mặt phẳng này luôn nhận véc-tơ \(\vec{n} = (A; B; C)\) làm véc-tơ pháp tuyến.
3. Phương pháp lập phương trình tổng quát của mặt phẳng
Dạng 1: Mặt phẳng đi qua điểm \(M_0(x_0; y_0; z_0)\) và có VTPT \(\vec{n} = (A; B; C)\)
Phương trình mặt phẳng là:
\[A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \iff Ax + By + Cz + D = 0\]trong đó \(D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)\).
Dạng 2: Mặt phẳng đi qua điểm \(M\) và biết cặp VTCP \(\vec{u}, \vec{v}\)
1. Tìm véc-tơ pháp tuyến \(\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]\).
2. Lập phương trình mặt phẳng đi qua \(M\) nhận \(\vec{n}\) làm VTPT.
Dạng 3: Mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng \(A, B, C\)
1. Xác định tọa độ hai véc-tơ chỉ phương \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\).
2. Tìm véc-tơ pháp tuyến \(\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}]\).
3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua \(A\) với VTPT \(\vec{n}\).
4. Điều kiện vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng \((\alpha): Ax + By + Cz + D = 0\) có VTPT \(\vec{n} = (A; B; C)\) và \((\beta): A'x + B'y + C'z + D' = 0\) có VTPT \(\vec{n}' = (A'; B'; C')\).
a) Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc:
\[(\alpha) \perp (\beta) \iff \vec{n} \perp \vec{n}' \iff AA' + BB' + CC' = 0\]Chú ý: Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì VTPT của mặt phẳng này sẽ có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng kia.
b) Điều kiện hai mặt phẳng song song:
\[(\alpha) \parallel (\beta) \iff \begin{cases} \vec{n}' = k\vec{n} \\ D' \neq kD \end{cases} \quad (k \in \mathbb{R})\]
