Bài viết tổng hợp hệ thống lý thuyết cốt lõi về Tính đơn điệu và Cực trị của hàm số thuộc chương trình Toán 12. Nội dung bao gồm khái niệm,...
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Khái niệm: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(K\).
- Hàm số đồng biến trên \(K\) nếu với mọi \(x_1, x_2 \in K\), \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\). Đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải.
- Hàm số nghịch biến trên \(K\) nếu với mọi \(x_1, x_2 \in K\), \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)\). Đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải.
2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu:
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \(K\):
- Nếu \(f'(x) \ge 0, \forall x \in K\) (dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm) thì hàm số đồng biến trên \(K\).
- Nếu \(f'(x) \le 0, \forall x \in K\) (dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm) thì hàm số nghịch biến trên \(K\).
3. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số:
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm \(f'(x)\). Tìm các điểm \(x_i\) mà tại đó \(f'(x) = 0\) hoặc không xác định.
- Sắp xếp các điểm \(x_i\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
- Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa cực trị:
Giả sử hàm số \(y = f(x)\) xác định và liên tục trên khoảng \((a; b)\) chứa điểm \(x_0\).
- Nếu tồn tại khoảng \((x_0 - h; x_0 + h) \subset (a; b)\) sao cho \(f(x) < f(x_0), \forall x \neq x_0\) thì \(x_0\) được gọi là điểm cực đại của hàm số, \(f(x_0)\) là giá trị cực đại.
- Nếu tồn tại khoảng \((x_0 - h; x_0 + h) \subset (a; b)\) sao cho \(f(x) > f(x_0), \forall x \neq x_0\) thì \(x_0\) được gọi là điểm cực tiểu của hàm số, \(f(x_0)\) là giá trị cực tiểu.
2. Dấu hiệu nhận biết cực trị (Định lí):
- Nếu \(f'(x) > 0\) trên \((a; x_0)\) và \(f'(x) < 0\) trên \((x_0; b)\) (đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi qua \(x_0\)) thì \(x_0\) là điểm cực đại.
- Nếu \(f'(x) < 0\) trên \((a; x_0)\) và \(f'(x) > 0\) trên \((x_0; b)\) (đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua \(x_0\)) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu.
III. BÀI TẬP BẢNG BIẾN THIÊN VÀ ỨNG DỤNG
Bài tập 1: Xét chiều biến thiên và tìm điểm cực trị của hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + 1\).
Lời giải:
1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
2. Đạo hàm: \(y' = 3x^2 - 6x\).
Giải phương trình đạo hàm bằng 0: \(3x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}\right.\)
3. Bảng biến thiên:
| x | \(-\infty\) | 0 | 2 | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| y' | + | 0 | - | 0 | + |
| y | \(-\infty\) \(\rightarrow\) | 1 | \(\rightarrow\) -3 | \(\rightarrow +\infty\) |
4. Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty; 0)\) và \((2; +\infty)\).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0; 2)\).
- Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), giá trị cực đại \(y_{CĐ} = 1\).
- Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\), giá trị cực tiểu \(y_{CT} = -3\).
Bài tập 2 (Thực tế): Độ cao \(h\) (mét) của một vật được phóng lên thẳng đứng sau thời gian \(t\) (giây) được tính bằng công thức \(h(t) = -4,9t^2 + 25t + 2\). Hỏi vật đạt vị trí cao nhất tại thời điểm nào?
Lời giải:
Vận tốc tức thời tại thời điểm \(t\) chính là đạo hàm của hàm số độ cao: \(v(t) = h'(t) = -9,8t + 25\).
Cho \(h'(t) = 0 \Leftrightarrow -9,8t + 25 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{25}{9,8} = \frac{125}{49} \approx 2,55\) (giây).
Bảng biến thiên thể hiện hàm số \(h(t)\) đạt giá trị cực đại tại \(t \approx 2,55\) giây. Vậy sau khoảng 2,55 giây phóng thì vật đạt độ cao lớn nhất.
