Tài liệu tổng hợp các dạng toán trắc nghiệm Đúng/Sai về chuyên đề Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (gồm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và ti...
1. Tiệm cận của đồ thị hàm số qua bảng biến thiên
Câu 1: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\) có bảng biến thiên như sau:
| \(x\) | \(-\infty\) | -3 | 3 | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|
| \(y'\) | + | + | + | |
| \(y\) | \(0 \rightarrow +\infty\) | \(-\infty \rightarrow +\infty\) | \(-\infty \rightarrow 0\) |
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y = 0\) làm tiệm cận ngang.
b) Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = -3\) làm tiệm cận đứng.
c) Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 4.
d) Hàm số đồng biến trên khoảng \((-3; 3)\).
Lời giải chi tiết:
a) Đúng: Ta có \(\lim_{x \to -\infty} y = 0\) và \(\lim_{x \to +\infty} y = 0\), do đó đường thẳng \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b) Đúng: Ta có \(\lim_{x \to -3^-} y = +\infty\) và \(\lim_{x \to -3^+} y = -\infty\), do đó đường thẳng \(x = -3\) là tiệm cận đứng.
c) Sai: Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận bao gồm 2 tiệm cận đứng \(x = -3\), \(x = 3\) và 1 tiệm cận ngang \(y = 0\).
d) Sai: Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định \((-\infty; -3)\), \((-3; 3)\), \((3; +\infty)\). Tuy nhiên, không viết hợp các khoảng nghịch biến/đồng biến thành một khoảng ghép.
2. Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên của hàm số đại số
Câu 2: Cho hàm số \(y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4}\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đường thẳng \(x = -2\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
b) Đường thẳng \(y = 1\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
c) Đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận ngang và 2 tiệm cận đứng.
d) Đồ thị hàm số đã cho có tổng cộng 2 đường tiệm cận.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\).
Ta phân tích hàm số: \(y = \frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 1}{x + 2}\) (với \(x \neq 2\)).
a) Đúng: Ta có \(\lim_{x \to -2^+} y = \lim_{x \to -2^+} \frac{x - 1}{x + 2} = -\infty\), do đó \(x = -2\) là tiệm cận đứng.
b) Đúng: Ta có \(\lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x - 1}{x + 2} = 1\), do đó \(y = 1\) là tiệm cận ngang.
c) Sai: Tại \(x = 2\), \(\lim_{x \to 2} y = \frac{1}{4}\) (hữu hạn) nên \(x = 2\) không phải là tiệm cận đứng. Đồ thị chỉ có 1 tiệm cận đứng.
d) Đúng: Đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận gồm \(x = -2\) và \(y = 1\).
Câu 3: Cho hàm số \(y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Hàm số có hai đường tiệm cận.
b) Giao điểm của hai đường tiệm cận là điểm \(I(1; 0)\).
c) Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O(0;0)\) đến tiệm cận xiên bằng \(\sqrt{2}\).
d) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(2; 1)\).
Lời giải chi tiết:
Biến đổi dạng hàm số: \(y = x - 1 + \frac{2}{x - 1}\).
a) Đúng: Vì \(\lim_{x \to 1} y = \infty \Rightarrow x = 1\) là tiệm cận đứng và \(\lim_{x \to \infty} [y - (x - 1)] = 0 \Rightarrow y = x - 1\) là tiệm cận xiên. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
b) Đúng: Tọa độ giao điểm \(I\) của tiệm cận đứng \(x = 1\) và tiệm cận xiên \(y = x - 1\) thỏa mãn: \(x = 1 \Rightarrow y = 0\). Vậy \(I(1; 0)\).
c) Sai: Phương trình tiệm cận xiên \(\Delta: x - y - 1 = 0\). Khoảng cách \(d(O, \Delta) = \frac{|0 - 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
d) Đúng: Thay tọa độ \(A(2; 1)\) vào phương trình tiệm cận xiên \(y = x - 1\), ta có \(1 = 2 - 1\) (đúng).
