Tóm tắt kiến thức: Bài học trình bày định nghĩa và phương pháp tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số bao gồm tiệm cận ngang, tiệm cận đ...
I. Lý thuyết đường tiệm cận của đồ thị hàm số
1. Đường tiệm cận ngang
Đường thẳng \(y = y_0\) gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0\) hoặc \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0\).
2. Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng \(x = x_0\) gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
\[\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty\]
3. Đường tiệm cận xiên
Đường thẳng \(y = ax + b\) (\(a \neq 0\)) gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu \(\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0\) hoặc \(\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0\).
II. Ví dụ minh họa và Lời giải bài tập
Ví dụ 1: Tìm các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{2x - 1}{x - 1}\).
Lời giải:
Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
Ta có: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{2x - 1}{x - 1} = 2\) và \(\lim_{x \to -\infty} \frac{2x - 1}{x - 1} = 2\). Do đó, tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\).
Lại có: \(\lim_{x \to 1^+} \frac{2x - 1}{x - 1} = +\infty\) và \(\lim_{x \to 1^-} \frac{2x - 1}{x - 1} = -\infty\). Do đó, tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\).
Ví dụ 2: Tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x + 1}\).
Lời giải:
Ta có thể viết hàm số dưới dạng: \(y = x - 2 + \frac{3}{x + 1}\).
Khi đó: \(\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x - 2)] = \lim_{x \to +\infty} \frac{3}{x + 1} = 0\).
Tương tự: \(\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (x - 2)] = 0\).
Vậy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \(y = x - 2\).
Bài tập Vận dụng: Để loại bỏ \(p\%\) một loài tảo độc khỏi hồ nước, chi phí ước tính là \(C(p) = \frac{45p}{100 - p}\) (triệu đồng) với \(0 \le p < 100\). Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(C(p)\) và nêu ý nghĩa thực tế.
Lời giải:
Ta có: \(\lim_{p \to 100^-} C(p) = \lim_{p \to 100^-} \frac{45p}{100 - p} = +\infty\).
Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng \(p = 100\).
Ý nghĩa: Không thể loại bỏ hoàn toàn \(100\%\) loài tảo độc ra khỏi hồ nước dù chi phí bỏ ra lớn đến mức nào.
