Tài liệu tổng hợp hệ thống công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích các hình khối phức tạp trong không gian bằng ứng dụng tích phân, ba...
Công thức thể tích và diện tích hình cầu
Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\) quay xung quanh trục \(Ox\), ta được hình cầu tâm \(O\) bán kính \(R\).
– Diện tích của mặt cầu: \(S = 4\pi R^2\)
– Thể tích của khối cầu: \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\)
Công thức thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi Elip
Cho Elip \((E): \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) (\(a, b > 0\)). Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi Elip \((E)\):
– Quanh trục \(Ox\) là: \(V = \frac{4}{3}\pi a b^2\)
– Quanh trục \(Oy\) là: \(V = \frac{4}{3}\pi a^2 b\)
Công thức thể tích hình nêm
a) Thể tích khối nêm loại I
Chọn trục \(Ox\) trùng với đường kính. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) (\(-R \le x \le R\)) là một tam giác vuông có độ dài hai cạnh lần lượt là \(\sqrt{R^2 - x^2}\) và \(\sqrt{R^2 - x^2} \cdot \tan\alpha\).
Khi đó, diện tích thiết diện là: \(S(x) = \frac{1}{2}(R^2 - x^2)\tan\alpha\)
\(\Rightarrow\) Thể tích của vật thể là:
\[V = \int_{-R}^{R} S(x) dx = \int_{-R}^{R} \frac{1}{2}(R^2 - x^2)\tan\alpha dx = \frac{2}{3}R^3 \tan\alpha\]
b) Thể tích khối nêm loại II
Chọn trục \(Ox\) trùng với bán kính. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) (\(0 \le x \le R\)) là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh lần lượt là \(2\sqrt{R^2 - x^2}\) và \((R - x)\cdot\tan\alpha\).
Khi đó, diện tích thiết diện là: \(S(x) = 2\sqrt{R^2 - x^2}(R - x)\tan\alpha\)
\(\Rightarrow\) Thể tích của vật thể là:
\[V = \int_{0}^{R} S(x) dx = \int_{0}^{R} 2\sqrt{R^2 - x^2}(R - x)\tan\alpha dx = \left(\frac{\pi}{2} - \frac{2}{3}\right)R^3 \tan\alpha\]
Công thức thể tích khối chỏm cầu
Khối chỏm cầu có bán kính \(R\) và chiều cao \(h\) (\(0 \lt h \le R\)) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình \(y = \sqrt{R^2 - x^2}\), trục \(Ox\) và đường thẳng \(x = R - h\), \(x = R\) quay quanh trục \(Ox\).
Thể tích của khối chỏm cầu là:
\[V = \pi \int_{R-h}^{R} \left(\sqrt{R^2 - x^2}\right)^2 dx = \pi h^2 \left(R - \frac{h}{3}\right)\]
Công thức thể tích cái phao
Thể tích của một cái phao có bán kính \(R\) và \(r\) là:
\[V = 2\pi^2 r^2 R\]
