Tài liệu tổng hợp đề kiểm tra cuối học kỳ I môn Toán lớp 12 theo cấu trúc đề thi mới. Nội dung bao gồm ma trận đánh giá, bản đặc tả cùng cá...
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{2x - 1}{x + 1}\) là đường thẳng có phương trình:
A. \(x = -1\)
B. \(x = 1\)
C. \(y = 2\)
D. \(y = -1\)
Câu 2. Trong không gian \(Oxyz\), cho hai véc-tơ \(\vec{a} = (1; 2; 3)\) và \(\vec{b} = (2; 0; -1)\). Tọa độ của véc-tơ \(\vec{a} + \vec{b}\) là:
A. \((3; 2; 2)\)
B. \((1; -2; -4)\)
C. \((-1; 2; 4)\)
D. \((3; 2; 4)\)
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1. Cho hàm số \(y = \frac{x + 2}{x - 1}\) có đồ thị \((C)\).
a) Đồ thị \((C)\) đi qua điểm \(A(0; -2)\).
b) Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.
c) Hàm số không có cực trị.
d) Điểm \(I(1; 1)\) là giao điểm của các đường tiệm cận của đồ thị \((C)\).
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1. Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a = 2\sqrt{3}\). Tích vô hướng \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) bằng bao nhiêu?
Câu 2. Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A(1; 2; 3)\) và điểm \(B\) đối xứng với \(A\) qua trục \(Oy\). Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng bao nhiêu?
PHẦN IV. TỰ LUẬN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Tính độ dài của vectơ \(\vec{S} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'}\).
Lời giải:
Áp dụng quy tắc hình hộp cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), ta có:
\[ \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'} = \vec{AC'} \]
Suy ra độ dài của vectơ \(\vec{S}\) là: \(|\vec{S}| = |\vec{AC'}| = AC'\).
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương cạnh \(a\) nên độ dài đường chéo \(AC' = a\sqrt{3}\).
Câu 2. Trong đợt cứu trợ đồng bào miền Trung, Ban chỉ huy thiết lập hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị km). Trục \(Oy\) mô phỏng Quốc lộ 1A. Hai Flycam trinh sát ở vị trí \(A(3; 1; 2)\) và \(B(4; 5; 1)\). Một xe trạm thu phát tín hiệu di chuyển trên trục \(Oy\) tại vị trí \(M(0; y; 0)\). Tìm tọa độ điểm \(M\) sao cho tổng khoảng cách từ xe đến hai Flycam \(MA + MB\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
Tọa độ điểm \(M \in Oy\) có dạng \(M(0; y; 0)\).
Đặt \(\vec{u} = (3; 1 - y; 2)\) và \(\vec{v} = (4; y - 5; -1)\). Ta có \(MA = |\vec{u}|\) và \(MB = |\vec{v}|\).
Áp dụng bất đẳng thức vectơ: \(|\vec{u}| + |\vec{v}| \ge |\vec{u} + \vec{v}|\).
Ta có \(\vec{u} + \vec{v} = (7; -4; 1) \Rightarrow |\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{66}\).
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) cùng hướng, tức là tồn tại \(k > 0\) sao cho \(\vec{u} = k\vec{v}\).
Từ đó tính ra \(y = 3\). Vậy tọa độ xe trạm cần tìm là \(M(0; 3; 0)\).
