Tóm tắt nội dung đề thi: Cấu trúc đề kiểm tra Giữa học kỳ 1 môn Toán lớp 12 bao gồm toàn bộ kiến thức thuộc chương Ứng dụng đạo hàm để khả...
PHẦN I. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Thí sinh chọn một phương án đúng duy nhất từ A, B, C, D.
Câu 1. Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f(x)\) trên đoạn \([-1; 2]\) đạt được tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu nếu biết hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\) với \(f(1) = 4\) và \(f(-1) = -1, f(2) = 2\)?
A. \(-1\)
B. \(2\)
C. \(0\)
D. \(1\)
Câu 2. Đồ thị hàm số \(y = \frac{2x + 1}{x - 1}\) có đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang lần lượt là:
A. \(x = 1\) và \(y = 2\)
B. \(x = -1\) và \(y = 2\)
C. \(x = 1\) và \(y = -2\)
D. \(x = 2\) và \(y = 1\)
Câu 3. Cho hàm số \(y = x^3 - 3x + 2\). Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:
A. \(x = -1\)
B. \(x = 1\)
C. \(x = 2\)
D. \(x = 0\)
PHẦN II. Câu hỏi trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn Đúng hoặc Sai.
Câu 1. Cho hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + 2\).
a) Đạo hàm của hàm số là \(y' = 3x^2 - 6x\).
b) Hàm số đồng biến trên khoảng \((0; 2)\).
c) Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 0\).
d) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng \(-2\).
PHẦN III. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1. Đồ thị hàm số \(y = \frac{x^2 - 3x + 3}{x - 1}\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = ax + b\). Tính giá trị biểu thức \(P = a + b\).
Câu 2. Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng \(12\text{ cm}\) và chiều dài \(20\text{ cm}\), người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau có cạnh \(x\text{ cm}\) rồi gập lại thành một chiếc hộp không nắp. Tìm \(x\) (làm tròn đến hàng phần mười) để thể tích chiếc hộp đạt giá trị lớn nhất.
PHẦN IV. Câu hỏi tự luận
Câu 1 (1,0 điểm): Cho hàm số \(y = 2x^3 - 6x^2 + 1\). Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([0; 3]\). Tính giá trị biểu thức \(T = M + m\).
Câu 2 (1,0 điểm): Tìm tọa độ hai điểm cực trị \(A\) và \(B\) của đồ thị hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + 2\), từ đó tính độ dài đoạn thẳng \(AB\).
BẢNG ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đáp án Phần I & II
| Câu | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| Đáp án | D | A | B |
Phần II - Câu 1: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng
Lời giải chi tiết Phần IV (Tự luận)
Câu 1:
Ta có đạo hàm: \(y' = 6x^2 - 12x\).
Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow 6x(x - 2) = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 0 \in [0; 3] \\ x = 2 \in [0; 3] \end{bmatrix}\).
Tính các giá trị tại các điểm biên và điểm cực trị:
\[ y(0) = 1 \]
\[ y(2) = 2(2)^3 - 6(2)^2 + 1 = 16 - 24 + 1 = -7 \]
\[ y(3) = 2(3)^3 - 6(3)^2 + 1 = 54 - 54 + 1 = 1 \]
Do đó, \(M = \max_{[0; 3]} y = 1\) và \(m = \min_{[0; 3]} y = -7\).
Vậy \(T = M + m = 1 + (-7) = -6\).
Câu 2:
Ta có \(y' = 3x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 0 \Rightarrow y = 2 \\ x = 2 \Rightarrow y = -2 \end{bmatrix}\).
Tọa độ hai điểm cực trị là \(A(0; 2)\) và \(B(2; -2)\).
Độ dài đoạn thẳng \(AB\) được tính theo công thức:
\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(2 - 0)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5} \]
