Tóm tắt nội dung tài liệu: Đề thi thử chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 bao gồm 4 phần thi kiến thức toàn diện: Trắc nghiệm chọn...
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN
Câu 1: Một đường tròn có đường kính \(20\text{ cm}\). Tính độ dài của cung trên đường tròn có số đo \(35^\circ\) (lấy 1 chữ số thập phân).
A. \(6{,}1\text{ cm}\).
B. \(3{,}1\text{ cm}\).
C. \(5{,}7\text{ cm}\).
D. \(12{,}2\text{ cm}\).
Lời giải:
Chọn A
Bán kính đường tròn \(R = 10\text{ cm}\).
Độ dài cung tròn là \(l = R\alpha = 10 \cdot \frac{35\pi}{180} \approx 6{,}1\text{ cm}\).
Câu 2: Cho cấp số cộng \((u_n)\) biết \(u_1 = 3\) và \(u_2 = 9\). Tìm \(u_3\)?
A. \(u_3 = 27\).
B. \(u_3 = 12\).
C. \(u_3 = 15\).
D. \(u_3 = 18\).
Lời giải:
Chọn C
Ta có công sai \(d = u_2 - u_1 = 9 - 3 = 6\).
Khi đó \(u_3 = u_2 + d = 9 + 6 = 15\).
Câu 3: Cho hàm số \(y = \sqrt{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\). Khi đó hàm số liên tục trong khoảng nào sau đây?
A. \((-∞; 1)\).
B. \((1; +∞)\).
C. \((1; 3)\).
D. \((3; +∞)\).
Lời giải:
Chọn D
Tập xác định của hàm số là \(D = [1; +∞) \setminus \{3\} = [1; 3) \cup (3; +∞)\).
Khi đó hàm số liên tục trong khoảng \((3; +∞)\).
Câu 4: Một ghế Massage Elipsport cao cấp năm 2024 được định giá 40 triệu đồng, mỗi năm giá trị ghế Massage giảm 10% so với năm trước và bắt đầu từ năm thứ 8 trở đi, mỗi năm giá ghế Massage giảm 15% so với năm trước. Hỏi bắt đầu từ năm nào thì giá trị ghế Massage nhỏ hơn 20 triệu đồng?
A. 2032.
B. 2033.
C. 2035.
D. 2034.
Lời giải:
Chọn C
+ Xét từ năm đầu tiên đến năm thứ 7: Giá trị máy đến năm thứ 7 là \(40 \cdot (0{,}9)^6\) (triệu đồng).
+ Xét từ năm thứ 8 trở đi: Giá trị máy giảm 15% mỗi năm. Giá trị ghế giảm dưới 20 triệu đồng khi năm thứ \(n\) đạt mốc 11 năm kể từ năm 2024, tương ứng năm 2035.
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1: Bác An gửi 200 triệu đồng vào một ngân hàng theo hình thức lãi kép với hai quyển sổ tiết kiệm như sau:
- Quyển 1 bác gửi 100 triệu đồng kì hạn 12 tháng với lãi suất không đổi 6,8%/năm.
- Quyển 2 bác gửi 100 triệu đồng kì hạn 6 tháng với lãi suất không đổi 6%/năm.
a) Sau 2 năm, số tiền tiết kiệm ở quyển 1 (cả vốn và lãi) làm tròn đến hàng triệu là 114 triệu đồng.
b) Sau 2 năm, bác An rút hết tiền ở cả hai quyển sổ tiết kiệm thì được nhiều hơn 225 triệu đồng nhưng ít hơn 230 triệu đồng.
c) Nếu bác An muốn rút về 300 triệu đồng để sửa nhà thì bác cần gửi ít nhất 8 năm.
d) Nếu sau 1 năm, bác An rút một nửa số tiền ở quyển 1 (cả vốn và lãi) rồi chuyển sang quyển 2 và tiếp tục gửi thì sau 2 năm bác An rút hết tiền về sẽ có lợi hơn giữ nguyên gửi ban đầu.
Lời giải:
a) Đúng: \(100 \cdot (1 + 0{,}068)^2 \approx 114{,}06\) triệu đồng.
b) Sai.
c) Sai.
d) Đúng.
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1: Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa và các suối đổ về. Từ lúc 0 giờ sáng, độ sâu của mực nước tính theo mét cho bởi công thức \(h(t) = -⅓ t^3 + 12t^2\). Biết rằng phải thông báo di dời trước khi xả nước 5 giờ, và nước dâng cao nhất mới xả nước. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời muộn nhất là lúc mấy giờ?
Lời giải:
Trả lời: 15
Ta có \(h'(t) = -t^2 + 24t = 0 \Leftrightarrow t = 12\) giờ (lúc 12h mực nước cao nhất).
Thông báo trước 5 giờ nên muộn nhất là \(12 + 12 - 5 = 15\) giờ chiều cùng ngày.
PHẦN IV. TỰ LUẬN
Câu 1 (3,5 điểm):
a) Cho hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Tìm các giá trị nguyên của \(m \in [-10; 10]\) để hàm số \(y = f(x^2 - 2x + m)\) nghịch biến trên khoảng \((1; 2)\).
b) Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn điều kiện \(f'(x) = (x^2 - 1)(x - 2)\). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(g(x) = f(\sqrt{x^2 + 3} + x)\) trên đoạn \([-1; 1]\).
Lời giải:
a) Ta có \(y' = (2x - 2) \cdot f'(x^2 - 2x + m)\). Vì \(f'(t) \lt 0, \forall t\) nên hàm số nghịch biến khi \(y' \le 0 \Leftrightarrow 2x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\). Tìm ra được 21 giá trị nguyên của \(m\).
b) Xét hàm hợp \(g(x)\) trên đoạn \([-1; 1]\), lập bảng biến thiên thu được giá trị lớn nhất của hàm số.
