Tóm tắt nội dung tài liệu: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 được cấu trúc theo định dạng mới nhất gồm 3 phần: Trắc nghiệ...
Tóm tắt nội dung tài liệu: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 được cấu trúc theo định dạng mới nhất gồm 3 phần: Trắc nghiệm 4 lựa chọn, Trắc nghiệm Đúng/Sai và Trắc nghiệm trả lời ngắn. Nội dung đề thi bao phủ kiến thức Khảo sát hàm số, Hình học không gian, Vectơ, Thống kê và Xác suất cùng các bài toán ứng dụng thực tế.
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN
Câu 1. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 1.
Câu 2. Số giá trị nguyên của \(m\) sao cho đồ thị hàm số \(y = x^3 - 3x^2 - mx + 2\) có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành là:
A. 2024.
B. 2025.
C. 2027.
D. 2026.
Câu 4. Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm \(SD\). Giá trị \(\cos(\vec{MA}, \vec{CC'})\) là:
A. \(\frac{2}{\sqrt{5}}\).
B. \(\frac{1}{\sqrt{5}}\).
C. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
D. \(\frac{1}{2}\).
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1. Một cửa hàng bán máy tính laptop trung bình bán được 1000 laptop mỗi tháng với giá 14 triệu đồng một chiếc. Khảo sát thị trường cho thấy nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng thì số lượng bán ra tăng thêm 100 chiếc mỗi tháng.
a) Gọi \(p\) (triệu đồng) là giá bán mỗi laptop, \(x\) là số laptop thì hàm cầu là \(x(p) = -200p + 3800\).
b) Công ty giảm giá \(p\) triệu đồng một chiếc cho người mua thì số người mua là đông nhất.
c) Nếu hàm chi phí hàng tháng là \(C(x) = 3000 + 3x\) (triệu đồng) thì lợi nhuận cao nhất là 12200 triệu đồng.
d) Cửa hàng nên đặt giá bán là 8,5 triệu đồng một chiếc laptop để lợi nhuận lớn nhất.
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi \(N\) là số nghiệm thực của phương trình \(f(f(x)) = 0\). Tìm \(N\)?
Câu 3. Một chiếc ô tô được nâng bởi hệ thống dây cáp cẩu có 4 dây \(EA, EB, EC, ED\) hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc \(60^\circ\). Lực căng tổng cộng chịu tải trọng ô tô và khung sắt. Lực căng của mỗi đoạn dây cáp bằng bao nhiêu Newton? (làm tròn đến hàng đơn vị).
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đáp án Phần I: Câu 1: B | Câu 2: C | Câu 4: A
Hướng dẫn giải một số câu tiêu biểu:
Câu 1 (Phần I): Dựa vào bảng biến thiên:
+\(\lim_{x \to 0^-} y = -\infty \Rightarrow x = 0\) là đường tiệm cận đứng.
+\(\lim_{x \to -\infty} y = 1 \Rightarrow y = 1\) là đường tiệm cận ngang.
+\(\lim_{x \to +\infty} y = 3 \Rightarrow y = 3\) là đường tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số có tổng cộng 3 tiệm cận.
Câu 1 (Phần II):
a) Đúng. Ta có hàm cầu bậc nhất \(x(p) = 1000 + \frac{100}{0,5}(14 - p) = -200p + 3800\).
b) Sai. Doanh thu \(R(p) = p \cdot x(p) = -200p^2 + 3800p\) đạt cực đại tại \(p = 9,5\) triệu đồng.
c) Đúng. Lợi nhuận \(P(p) = R(p) - C(x(p)) = -200p^2 + 4400p - 14400\), đạt cực đại là 12200 triệu đồng tại \(p = 11\) triệu đồng.
Câu 3 (Phần III):
Trả lời: 1443
Tổng trọng lực tác dụng \(P = 3000 + 20000 = 23000\text{ N}\). Vì hệ cân bằng và có tính đối xứng nên lực căng mỗi dây \(F = \frac{P}{4 \sin 60^\circ} \approx 1443\text{ N}\).
