Tài liệu tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh/thành phố năm học 2026 - 2027 của Sở Giáo dục và Đào tạo Lâm Đồng. Đề thi ba...
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2026 - 2027
Câu 1 (4,0 điểm). Cho dãy số \((u_n)\) thỏa mãn \(u_1 = 2027\) và \[u_n = \frac{1}{2}\left(u_{n-1} + \frac{2026}{u_{n-1}}\right), \forall n \ge 2.\]
a) Chứng minh rằng \(u_n \ge \sqrt{2026}, \forall n \ge 1\).
b) Chứng minh rằng dãy số \((u_n)\) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 2 (4,0 điểm). Cho đa thức \(P(x)\) có các hệ số nguyên, biết rằng tồn tại ba số nguyên \(x_1, x_2, x_3\) sao cho \(P(x_1) = 2025\), \(P(x_2) = 2026\) và \(P(x_3) = 2027\).
a) Chứng minh rằng \(x_2\) là nghiệm nguyên duy nhất của phương trình \(P(x) = 2026\).
b) Chứng minh rằng phương trình \(P(x) = 2029\) có không quá một nghiệm nguyên.
Câu 3 (4,0 điểm). Cho \(A(n) = 10^{10^n} - 9^n\) với \(n \in \mathbb{N}^*\).
a) Tìm một giá trị của \(n\) sao cho \(A(n)\) có hai chữ số tận cùng giống nhau.
b) Chứng minh rằng nếu \(A(n)\) có \(k\) chữ số tận cùng giống nhau thì \(k \le 4\).
Câu 4 (4,0 điểm). Cho tam giác nhọn \(ABC\) (\(AB < AC\)) ngoại tiếp đường tròn \((I)\). Gọi \(D, E, F\) lần lượt là tiếp điểm của đường tròn \((I)\) với \(BC, CA, AB\). Đường thẳng \(AI\) cắt \(DE, DF\) lần lượt tại \(P, Q\). Đường tròn đường kính \(PQ\) cắt \(BC\) tại \(M, N\).
a) Chứng minh rằng \(BP\) song song với \(CQ\).
b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMN\) tiếp xúc với đường tròn \((I)\).
Câu 5 (4,0 điểm). Bạn Hải tô màu \(n\) số nguyên dương đầu tiên bởi đúng \(k\) màu, mỗi số chỉ tô đúng một màu (\(k \le n\)). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(n\) sao cho với mọi cách tô luôn tồn tại hai số được tô cùng màu mà hiệu của chúng là số chính phương trong mỗi trường hợp sau:
a) \(k = 2\).
b) \(k = 3\).
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CÂU 1
Lời giải Câu 1:
a) Từ công thức truy hồi của dãy \((u_n)\), ta được \(u_n > 0, \forall n \in \mathbb{N}^*\).
Ta có: \(u_1 = 2027 > \sqrt{2026}\). Vậy khẳng định đúng với \(n = 1\).
Với \(n > 1\), áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\[u_n = \frac{1}{2}\left(u_{n-1} + \frac{2026}{u_{n-1}}\right) \ge \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2026} = \sqrt{2026}\]
Vậy khẳng định đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\) hay \(u_n \ge \sqrt{2026}, \forall n \in \mathbb{N}^*\).
b) Với mọi \(n \ge 2\), chú ý rằng \(u_n \ge \sqrt{2026}\), ta có:
\[u_n - u_{n-1} = \frac{1}{2}\left(u_{n-1} + \frac{2026}{u_{n-1}}\right) - u_{n-1} = \frac{1}{2}\left(\frac{2026}{u_{n-1}} - u_{n-1}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2026 - u_{n-1}^2}{u_{n-1}} \le 0\]
Vậy \((u_n)\) là dãy giảm và bị chặn dưới bởi \(\sqrt{2026}\) nên theo tiêu chuẩn Weierstrass, dãy \((u_n)\) có giới hạn hữu hạn. Đặt \(\lim u_n = L\). Từ công thức truy hồi của \((u_n)\), chuyển qua giới hạn khi \(n \to +\infty\), ta được:
\[L = \frac{1}{2}\left(L + \frac{2026}{L}\right) \Leftrightarrow \frac{L}{2} = \frac{1013}{L} \Leftrightarrow L = \pm\sqrt{2026}\]
Chú ý rằng \(u_n \ge \sqrt{2026}, \forall n \in \mathbb{N}^*\) nên \(L = \sqrt{2026}\). Vậy \(\lim u_n = \sqrt{2026}\).
