Tài liệu giới thiệu đầy đủ 8 bài toán thuộc đề thi chọn học sinh giỏi thành phố và chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán lớ...
Tài liệu giới thiệu đầy đủ 8 bài toán thuộc đề thi chọn học sinh giỏi thành phố và chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán lớp 12 THPT tại Hà Nội. Đề thi bao phủ các chuyên đề chuyên sâu bao gồm: Dãy số, Số học, Hình học phẳng, Phương trình hàm, Đa thức và Bài toán đại số tổ hợp.
ĐỀ THI NGÀY THỨ NHẤT
Bài 1 (5,0 điểm). Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi \(u_1 = \frac{1}{2}\) và \(u_{n+1} = \frac{3 - u_n^2}{2}\) với mọi số nguyên dương \(n\).
Chứng minh \((u_n)\) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Chứng minh \((u_n)\) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 2 (5,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên tố lẻ \((p, q)\), với \(p < q\), thỏa mãn \(p^{p^2} + (p+2)^{p^2}\) chia hết cho \(q\) và \(C_{2pq}^p\) chia hết cho \(pq\).
Bài 3 (4,0 điểm). Cho số nguyên \(n\) lớn hơn 3 và một đa giác đều \(P\) có \(2n\) đỉnh. Một tam giác được gọi là phủ đa giác \(P\) nếu tất cả các đỉnh của \(P\) đều nằm trong tam giác hoặc nằm trên cạnh của tam giác.
Tính số tam giác phủ đa giác \(P\) tạo bởi ba đường thẳng chứa ba cạnh của đa giác \(P\).
Tính số tam giác phủ đa giác \(P\) tạo bởi ba đường thẳng chứa ba cạnh của đa giác \(P\).
Bài 4 (6,0 điểm). Cho tam giác \(ABC\) (\(AB < AC < BC\)) nội tiếp đường tròn \((O)\). Ba đường cao \(AA_1, BB_1, CC_1\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại trực tâm \(H\).
a) Gọi \(A_0, B_0, C_0\) tương ứng là trung điểm của các cạnh \(BC, CA, AB\). Gọi \(X\) là giao điểm của hai đường thẳng \(B_0O\) và \(C_0A_0\), \(Y\) là giao điểm của hai đường thẳng \(C_0O\) và \(A_0B_0\). Hai đường thẳng \(XY\) và \(B_0C_0\) cắt nhau tại điểm \(Z\). Chứng minh đường thẳng \(A_0H\) vuông góc với đường thẳng \(A_0Z\).
b) Kẻ đường kính \(AK\) của đường tròn \((O)\). Gọi \(M, N\) tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng \(BB_1, CC_1\). Chứng minh đường thẳng \(MN\) đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(A_1HK\).
a) Gọi \(A_0, B_0, C_0\) tương ứng là trung điểm của các cạnh \(BC, CA, AB\). Gọi \(X\) là giao điểm của hai đường thẳng \(B_0O\) và \(C_0A_0\), \(Y\) là giao điểm của hai đường thẳng \(C_0O\) và \(A_0B_0\). Hai đường thẳng \(XY\) và \(B_0C_0\) cắt nhau tại điểm \(Z\). Chứng minh đường thẳng \(A_0H\) vuông góc với đường thẳng \(A_0Z\).
b) Kẻ đường kính \(AK\) của đường tròn \((O)\). Gọi \(M, N\) tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng \(BB_1, CC_1\). Chứng minh đường thẳng \(MN\) đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(A_1HK\).
ĐỀ THI NGÀY THỨ HAI
Bài 5 (5,0 điểm). Xét hàm số \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn \(f(1) > 0\) và \[f(a)f(d) - f(b)f(c) = 1\] với mọi số thực \(a, b, c, d\) thỏa mãn \(ad - bc = 1\).
a) Chứng minh \(f(xy) = f(x)f(y)\) với mọi số thực \(x\) và \(y\).
b) Chứng minh \(f(x) = x\) với mọi số thực \(x\).
a) Chứng minh \(f(xy) = f(x)f(y)\) với mọi số thực \(x\) và \(y\).
b) Chứng minh \(f(x) = x\) với mọi số thực \(x\).
Bài 6 (5,0 điểm). Cho \(P(x)\) là một đa thức với hệ số nguyên có bậc bằng 5 sao cho có vô hạn cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn \(x P(x) = y P(y)\) và \(x \neq y\).
a) Chứng minh tồn tại số nguyên \(C\) có tính chất: Nếu \((x, y)\) là cặp số nguyên thỏa mãn \(x \neq y\) và \(x P(x) = y P(y)\) thì \(|x + y| \le C\).
b) Chứng minh \(P(x)\) có nghiệm nguyên.
a) Chứng minh tồn tại số nguyên \(C\) có tính chất: Nếu \((x, y)\) là cặp số nguyên thỏa mãn \(x \neq y\) và \(x P(x) = y P(y)\) thì \(|x + y| \le C\).
b) Chứng minh \(P(x)\) có nghiệm nguyên.
Bài 7 (5,0 điểm). Cho số nguyên dương lẻ \(n\). Một số nguyên dương \(m\) được gọi là số tốt nếu \(m^x + x^m\) chia hết cho \(n^x + x^n\) với mọi số nguyên dương \(x\).
a) Chứng minh nếu \(m\) là một số tốt thì \(m\) chia hết cho \(n\).
b) Tìm tất cả các số tốt.
a) Chứng minh nếu \(m\) là một số tốt thì \(m\) chia hết cho \(n\).
b) Tìm tất cả các số tốt.
Bài 8 (5,0 điểm). Cho 9 số thực \(a_1, a_2, \dots, a_9\). Khởi đầu với bộ 9 số thực \((a_1, a_2, \dots, a_9)\).
Ở mỗi bước, từ bộ vừa tạo \((x_1, x_2, \dots, x_9)\), ta tạo ra một bộ mới \((y_1, y_2, \dots, y_9)\) theo quy tắc sau: chọn các số \(\epsilon_1, \dots, \epsilon_9 \in \{-1; 1\}\) sao cho biểu thức \[\left| \sum_{i=1}^9 \epsilon_i \sqrt{i} \right|\] đạt giá trị nhỏ nhất (nếu có nhiều cách chọn, lấy một cách tùy ý), sau đó đặt \(y_i = x_i + \epsilon_i \sqrt{i}\) với mọi \(i = 1, 2, \dots, 9\).
Chứng minh sau hữu hạn bước, sẽ xuất hiện một bộ \((u_1, u_2, \dots, u_9)\) sao cho tồn tại chỉ số \(i\) để \(|u_i| \ge \frac{15}{2}\).
Ở mỗi bước, từ bộ vừa tạo \((x_1, x_2, \dots, x_9)\), ta tạo ra một bộ mới \((y_1, y_2, \dots, y_9)\) theo quy tắc sau: chọn các số \(\epsilon_1, \dots, \epsilon_9 \in \{-1; 1\}\) sao cho biểu thức \[\left| \sum_{i=1}^9 \epsilon_i \sqrt{i} \right|\] đạt giá trị nhỏ nhất (nếu có nhiều cách chọn, lấy một cách tùy ý), sau đó đặt \(y_i = x_i + \epsilon_i \sqrt{i}\) với mọi \(i = 1, 2, \dots, 9\).
Chứng minh sau hữu hạn bước, sẽ xuất hiện một bộ \((u_1, u_2, \dots, u_9)\) sao cho tồn tại chỉ số \(i\) để \(|u_i| \ge \frac{15}{2}\).
