Tóm tắt đề thi: Kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2026 - 2027 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lào Cai diễn ra ...
Tóm tắt đề thi: Kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2026 - 2027 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lào Cai diễn ra trong 2 ngày (15/9/2026 và 16/9/2026). Đề thi gồm 6 bài toán chuyên sâu thuộc các chủ đề Đa thức, Hình học phẳng, Số học - Tổ hợp hoán vị, Phương trình hàm và Dãy số.
NGÀY THI THỨ NHẤT (15/09/2026)
Câu 1 (7,0 điểm). Giả sử \(a, b, c\) là ba trong bốn nghiệm của đa thức
\[f(x) = x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 4x - 2.\]
a) Chứng minh rằng \(abc\) là nghiệm của đa thức \(g(x) = x^4 + 4x^3 - 4x^2 - 16x - 8\).
b) Chứng minh rằng \(ab\) là nghiệm của đa thức
\[h(x) = x^6 - 2x^5 - 14x^4 + 8x^3 + 28x^2 - 8x - 8.\]
Câu 2 (7,0 điểm). Cho tam giác \(ABC\) (\(AB < AC\)) có đường tròn nội tiếp \((I)\) tiếp xúc với \(BC, CA, AB\) lần lượt tại \(D, E, F\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AI\) và \(BC\); \(K, L\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(H\) trên \(IB\) và \(IC\). Qua \(D\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AI\) cắt \(IB, IC\) lần lượt tại \(X\) và \(Y\). Gọi \(M, N, P\) lần lượt là trung điểm của \(DE, DF\) và \(EF\).
a) Chứng minh rằng \(KL \parallel BC\) và bốn điểm \(K, L, X, Y\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi \(O_1, O_2\) lần lượt là tâm của hai đường tròn \((MKL)\) và \((DIP)\). Chứng minh rằng giao điểm của \((MKL)\) và \((DIP)\) thuộc đường tròn đường kính \(O_1O_2\).
Câu 3 (6,0 điểm). Với mỗi số nguyên dương \(n\), ta gọi một hoán vị \((a_0, a_1, \dots, a_{n-1})\) của các số \(0, 1, \dots, n-1\) là tốt nếu \(a_i + i\) là số chính phương với mọi \(i = 0, 1, \dots, n-1\).
a) Chứng minh rằng với \(n = 2026\), trong một hoán vị tốt \((a_0, a_1, \dots, a_{2025})\), luôn tồn tại ít nhất một chỉ số \(i\) sao cho \(a_i + i\) chia hết cho 9.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n\), luôn tồn tại ít nhất một hoán vị tốt.
NGÀY THI THỨ HAI (16/09/2026)
Câu 4 (6,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn
\[xf(2x+xy) = xf(x) + f(x^2)f(y+1), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.\]
Câu 5 (7,0 điểm). Xét dãy số \((a_n)\) xác định bởi: \(a_0 = 0, a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 6\) và
\[a_{n+4} = 2a_{n+3} + a_{n+2} - 2a_{n+1} - a_n \quad \text{với mọi } n \ge 0.\]
a) Chứng minh rằng \(a_n\) chia hết cho \(n\) với mọi số nguyên dương \(n\).
b) Với mỗi số nguyên dương \(m\), kí hiệu \(\varphi(m)\) là số các số nguyên dương không vượt quá \(m\) và nguyên tố cùng nhau với \(m\). Chứng minh rằng \(\varphi\left(\frac{a_{2027}}{2027}\right)\) là một số chia hết cho 4.
Câu 6 (7,0 điểm). Cho tứ giác \(ABCD\) không phải hình thang, nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\); \(F\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\). Các tiếp tuyến tại \(C\) và \(D\) của đường tròn \((FCD)\) cắt nhau tại \(S\). Gọi \(P\) là giao điểm \(SF\) và \(CD\); \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\); \(H\) là hình chiếu của \(E\) trên \(SF\); \(K\) là giao điểm thứ hai của hai đường tròn \((ABE)\) và \((CDE)\).
a) Chứng minh rằng các điểm \(K, P, M, H\) cùng nằm trên một đường tròn, kí hiệu là \((\omega)\).
b) Tiếp tuyến tại \(P\) của đường tròn \((\omega)\) cắt đường tròn \((CDE)\) tại \(X, Y\). Gọi \(Q\) là giao điểm thứ hai của \(KP\) với đường tròn \((CDE)\). Chứng minh rằng \(EQ\) là tia phân giác của \(\widehat{XEY}\).
