Tóm tắt nội dung: Đề thi chọn đội tuyển Học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2026 - 2027 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên gồ...
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THÁI NGUYÊN
THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2026 - 2027
Môn thi: Toán | Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) | Ngày thi: 10/9/2026
Câu 1 (3,0 điểm). Cho ba số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Chứng minh rằng
\[\frac{1}{b + c + 1} + \frac{1}{c + a + 1} + \frac{1}{a + b + 1} \ge 2 \left( \frac{1}{a + 5} + \frac{1}{b + 5} + \frac{1}{c + 5} \right).\]Câu 2 (3,0 điểm). Cho dãy số \((a_n)\): \(\begin{cases} a_1 = 2026 \\ n a_n = a_{n-1} + 1, \forall n \ge 2 \end{cases}\). Xác định giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương \(k\) sao cho \(2026 a_k < 1\).
Câu 3 (4,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn
\[f(y f(x + y) + f(x)) = 4x + 2y f(x + y), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.\]Câu 4 (3,0 điểm). Cho \(n\) số nguyên dương đôi một phân biệt \(a_1, \dots, a_n\). Đặt
\[b_i = (a_i - a_1) \cdots (a_i - a_{i-1})(a_i - a_{i+1}) \cdots (a_i - a_n).\]Chứng minh rằng \((n - 1)!\) là ước của \(\text{lcm}(b_1, \dots, b_n)\), trong đó \(\text{lcm}(b_1, \dots, b_n)\) là bội chung nhỏ nhất của các số nguyên \(b_1, \dots, b_n\).
Câu 5 (4,0 điểm). Cho tam giác \(ABC\) nhọn, không cân (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Đường phân giác của \(\widehat{BAC}\) cắt \(BC\) tại \(E\) và cắt đường tròn \((O)\) tại điểm thứ hai là \(M\). Đường tròn tâm \(E\) bán kính \(EM\) cắt cung nhỏ \(BC\) của đường tròn \((O)\) và tia \(MO\) tại các điểm thứ hai tương ứng là \(D\) và \(Q\). Lấy điểm \(P\) thuộc đoạn thẳng \(AD\) (\(P \ne A, P \ne D\)) sao cho \(\widehat{ABP} = \widehat{ACP}\).
a) Chứng minh rằng bốn điểm \(A, E, Q, D\) đồng viên.
b) Gọi giao điểm của \(AM\) với \(BP, CP\) tương ứng là \(K, L\). Chứng minh rằng \(OP\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(KL\).
Câu 6 (3,0 điểm). Cho số nguyên dương \(n\) và tập hợp \(A\) gồm \(60n + 1\) số nguyên dương không vượt quá \(210n\) và nguyên tố cùng nhau với 14. Chứng minh rằng trong \(A\) luôn tồn tại hai số mà một số chia hết cho ba lần số còn lại.
LỜI GIẢI CHI TIẾT (THLM Team)
Câu 1:
Cho ba số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Chứng minh rằng
\[\frac{1}{b + c + 1} + \frac{1}{c + a + 1} + \frac{1}{a + b + 1} \ge 2 \left( \frac{1}{a + 5} + \frac{1}{b + 5} + \frac{1}{c + 5} \right).\]Từ giả thiết \(a + b + c = 3\), ta có \(b + c = 3 - a\). Thay vào đề, ta được:
\[\frac{1}{4 - a} + \frac{1}{4 - b} + \frac{1}{4 - c} \ge \frac{2}{a + 5} + \frac{2}{b + 5} + \frac{2}{c + 5}\]\[\iff \sum_{\text{cyc}} \left( \frac{1}{4 - a} - \frac{2}{a + 5} \right) \ge 0.\]Ta chứng minh bất đẳng thức sau với mọi \(x \in (0; 3)\):
\[\frac{1}{4 - x} - \frac{2}{x + 5} \ge \frac{x - 1}{6}\]\[\iff \frac{3(x - 1)}{(4 - x)(x + 5)} - \frac{x - 1}{6} \ge 0\]\[\iff \frac{(x - 1)^2 (x + 2)}{6(4 - x)(x + 5)} \ge 0 \quad (\text{đúng với mọi } x \in (0; 3)).\]Áp dụng lần lượt cho \(a, b, c\), ta thu được:
\[\sum_{\text{cyc}} \left( \frac{1}{4 - a} - \frac{2}{a + 5} \right) \ge \sum_{\text{cyc}} \frac{a - 1}{6} \iff \sum_{\text{cyc}} \left( \frac{1}{4 - a} - \frac{2}{a + 5} \right) \ge \frac{a + b + c - 3}{6} = 0.\]Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1\).
Câu 2:
Cho dãy số \((a_n)\): \(\begin{cases} a_1 = 2026 \\ n a_n = a_{n-1} + 1, \forall n \ge 2 \end{cases}\). Xác định giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương \(k\) sao cho \(2026 a_k < 1\).
Ta có \(n a_n = a_{n-1} + 1, \forall n \ge 2\)
\[\Rightarrow n! a_n = (n - 1)! a_{n-1} + (n - 1)!\]
