Tóm tắt đề thi: Kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tham dự kỳ thi HSG Quốc gia THPT năm học 2026 - 2027 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Qu...
Tóm tắt đề thi: Kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tham dự kỳ thi HSG Quốc gia THPT năm học 2026 - 2027 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Trị tổ chức ngày 21/09/2026. Đề thi gồm 02 vòng thi với tổng cộng 7 bài toán tự luận cover đầy đủ các mảng kiến thức nâng cao: Dãy số, Phương trình hàm, Hình học phẳng, Lý thuyết đồ thị / Tổ hợp, Số học và Đếm nâng cao.
VÒNG 1 (Thời gian làm bài: 180 phút)
Câu 1 (5.0 điểm). Cho dãy số \((u_n)\) được xác định bởi \(u_1 = \alpha > 0\) và \(u_{n+1} = u_n + \frac{n}{u_n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).
a) Chứng minh rằng \(u_n \ge n\) với mọi \(n \ge 2\).
b) Chứng minh rằng dãy số \(\left(\frac{u_n}{n}\right)\) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 2 (5.0 điểm). Tìm tất cả các hàm số \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn:
\[f(xy + f(x)) + f(y) = x f(y) + f(x + y) \quad \text{với mọi } x, y \in \mathbb{R}.\]
Câu 3 (5.0 điểm). Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn \((O)\), với \(O\) là tâm. Các đường trung trực của các đoạn \(AB, AC\) cắt đường phân giác trong của góc \(\widehat{BAC}\) theo thứ tự tại \(M, N\). Gọi \(P\) là giao điểm của đường thẳng \(BM\) với \(CN\). \(H\) là trực tâm của tam giác \(OMN\) và \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác \(PMN\).
a) Chứng minh rằng \(MHNI\) là hình thoi.
b) Tiếp tuyến của \((O)\) tại \(B, C\) cắt nhau tại \(S\). Chứng minh rằng \(S, A, I\) thẳng hàng.
Câu 4 (5.0 điểm). Một trường hè toán học gồm \(3n\) (với \(n \ge 2, n \in \mathbb{N}\)) học sinh tham gia, trong đó hai học sinh quen nhau bất kỳ có đúng \(n\) học sinh quen chung và hai học sinh không quen nhau bất kỳ có đúng \(2n\) học sinh quen chung. Nếu ba học sinh đôi một quen nhau thì ta gọi là một nhóm "Bạn bè".
a) Xác định số lượng các nhóm "Bạn bè".
b) Chứng minh rằng: có thể chia \(3n\) học sinh trường hè toán học trên thành ba tổ, mỗi tổ có \(n\) học sinh sao cho khi lấy ngẫu nhiên mỗi tổ một học sinh thì ba học sinh này tạo thành một nhóm "Bạn bè".
VÒNG 2 (Thời gian làm bài: 180 phút)
Câu 5 (6.0 điểm).
a) Cho \(n = 2026^{2027} + 2027^{2026} + 30\). Chứng minh rằng tổng tất cả các ước số nguyên dương của \(n\) chia hết cho 24.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương \(x, y\) và số nguyên tố \(p\) thỏa mãn: \[\frac{xy^3}{x+y} = p.\]
Câu 6 (7.0 điểm). Cho đa giác lồi 2026 đỉnh \(A_1 A_2 \dots A_{2026}\). Tô màu tất cả các đỉnh của đa giác bởi một trong hai màu đỏ hoặc xanh, mỗi đỉnh chỉ được tô bởi một màu.
a) Tính số cách tô màu sao cho không có 2 đỉnh nào kề nhau đều được tô màu xanh.
b) Tính số cách tô màu sao cho với mọi \(k \in \{1; 2; \dots; 2026\}\), trong \(k\) đỉnh \(A_1, A_2, \dots, A_k\), số đỉnh được tô màu đỏ không ít hơn số đỉnh được tô màu xanh.
Câu 7 (7.0 điểm). Trên đường tròn \((O)\) cố định, cho dây cung \(BC\) cố định khác đường kính và điểm \(A\) di động trên đường tròn \((O)\) sao cho tam giác \(ABC\) nhọn và không cân. Gọi \(D, E\) lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ \(\wideparen{AB}, \wideparen{AC}\) của đường tròn \((O)\). Đoạn thẳng \(DE\) cắt \(AB, AC\) lần lượt tại \(X, Y\). Giả sử các đường tròn \((BDX), (CEY)\) cắt nhau tại hai điểm \(I, K\) phân biệt và các đường tròn \((BEX), (CDY)\) cắt nhau tại hai điểm \(R, S\) phân biệt.
a) Chứng minh rằng \(\widehat{BAC} \ne 60^\circ\) và đường thẳng \(IK\) luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh rằng đường thẳng \(RS\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(BC\) và trung điểm \(RS\) di động trên một đường tròn cố định.
