Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán năm học 2026 - 2027 của Sở Giáo dục và Đào tạo Cà Mau (Buổi thi thứ hai, ngày 26...
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CÀ MAU - KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2026 - 2027
Câu 1 (6,0 điểm). Trên mặt phẳng toạ độ giả lập cho một trò chơi điện tử, Bảo Long và Châu Mai cùng điều khiển một chiếc xe. Ban đầu, xe ở gốc toạ độ và hướng về chiều dương của trục \(Ox\). Xe có thể đi theo 1 trong 4 hướng: đi lên, đi xuống, sang trái, sang phải. Hai bạn chơi luân phiên thực hiện các lượt đi như sau:
- Long cho xe đi thẳng theo hướng hiện tại với độ dài đường đi là số nguyên tuỳ ý từ 1 đến 10.
- Mai không di chuyển mà quay xe một góc \(90^\circ\) cùng chiều hoặc ngược chiều kim đồng hồ.
Biết rằng Long đi trước và thực hiện tổng cộng \(k\) lượt. Sau mỗi lượt của Long, hệ thống ghi nhận lại vị trí dừng xe. Nếu có một vị trí dừng nào trùng với vị trí được ghi nhận trước đó (kể cả gốc \(O\)) thì Mai thắng; nếu không thì Long thắng. Hãy xác định người có chiến thuật thắng nếu:
a) \(k = 20\).
b) \(k = 400\).
Câu 2 (7,0 điểm). Cho tam giác \(ABC\) nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn \((O)\) và có tâm đường tròn nội tiếp \(I\). Kẻ phân giác \(BB', CC'\) của tam giác \(ABC\), trong đó \(B', C' \in (O)\). Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(I\), vuông góc với \(OI\). Giả sử \(d\) cắt các đoạn thẳng \(AB, BC, B'C'\) lần lượt ở \(E, D, H\) và cắt tia đối của tia \(AC\) ở \(F\). Trên \((O)\), lấy điểm \(L\) sao cho \(AL\) song song với \(d\). Gọi \(A'\) là trung điểm của cung lớn \(BC\) của \((O)\) và \(A'I\) cắt lại \((O)\) tại \(K\).
a) Chứng minh rằng \(AH = HI = ID = DL = DK\).
b) Gọi \(J\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AEF\). Lấy điểm \(G\) trên \((O)\) sao cho \(HG\) vuông góc với \(IJ\) và lấy các điểm \(R, S\) trên \((O)\) sao cho \(GI = GR = GS\), giả sử rằng \(A, G\) khác phía nhau so với đường thẳng \(RS\). Chứng minh rằng \(AG, RS\) cắt nhau tại một điểm trên \((J)\).
Câu 3 (7,0 điểm). Gọi một đa thức hệ số thực là monic nếu nó có hệ số của bậc cao nhất bằng 1.
a) Xây dựng đa thức \(f(x)\) có hệ số nguyên, bậc 29, monic, \(2026 \mid f(0)\) sao cho: với mọi \(n \in \mathbb{Z}^+\) mà \(3 \mid f(n)\) thì đều có \(3^{42} \mid f(n)\).
b) Cho số nguyên dương \(k > 1\) và số nguyên tố \(p\) lẻ. Chứng minh rằng \(k + v_p(k!)\) là giá trị lớn nhất của số nguyên dương \(m\) sao cho tồn tại đa thức \(f(x)\) hệ số nguyên bậc \(k\), monic, \(p \mid f(0)\) và thoả mãn: với mọi \(n \in \mathbb{Z}^+\) mà \(p \mid f(n)\) thì đều có \(p^m \mid f(n)\).
Xem và tải tài liệu đầy đủ
Xem thêm: ĐỀ TOÁN NGÀY 1.
