Tổng quan bài thi: Bộ tài liệu tổng hợp toàn bộ câu hỏi trong Kỳ thi chọn học sinh giỏi tham dự Đội tuyển Quốc gia THPT môn Toán tỉnh Đắk ...
Tổng quan bài thi: Bộ tài liệu tổng hợp toàn bộ câu hỏi trong Kỳ thi chọn học sinh giỏi tham dự Đội tuyển Quốc gia THPT môn Toán tỉnh Đắk Lắk năm học 2026 - 2027. Đề kiểm tra kéo dài trong 2 ngày thi với cấu trúc 8 bài toán tự luận thuộc các mảng kiến thức nâng cao: Bất đẳng thức, Tổ hợp - Số học, Hình học phẳng, Dãy số và Đa thức.
NGÀY THI THỨ NHẤT (22/09/2026)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (5,0 điểm): Cho \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\[P = 4 \left( \frac{1}{2a + b + c} + \frac{1}{a + 2b + c} + \frac{1}{a + b + 2c} \right) - \frac{a^2 + b^2 + c^2 + 3(ab + bc + ca)}{(a + b)(b + c)(c + a)}\]
Câu 2 (5,0 điểm): Cho hàm số \(f : \mathbb{N}^* \to \mathbb{Z}\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
i) \(f(p) = 1\), với mọi \(p\) nguyên tố;
ii) \(f(xy) = yf(x) + xf(y), \forall x, y \in \mathbb{N}^*\).
Tìm số tự nhiên \(n\) nhỏ nhất sao cho \(n \ge 2026\) và \(f(n) = n\).
Câu 3 (5,0 điểm): Cho tam giác \(ABC\) (\(AB < AC\)), một đường tròn \((O)\) thay đổi luôn đi qua \(B, C\) và lần lượt cắt các đoạn thẳng \(AB, AC\) tại \(F, E\) (\(F\) khác \(A\) và \(B\); \(E\) khác \(A\) và \(C\)). Gọi \(I\) là giao điểm của \(BE\) và \(CF\), đường thẳng \(EF\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(P\).
a) Gọi \(X, Y\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(AB\) và \(AC\); đường thẳng \(PO\) cắt \(AB\) và \(AC\) lần lượt tại \(K, L\). Chứng minh rằng \(X, Y, K, L\) cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi \(D\) là giao điểm của \(AI\) và \(BC\). Đường thẳng qua \(D\) song song với \(EF\) cắt \(AB, AC\) lần lượt tại \(Q\) và \(R\). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác \(PQR\) luôn đi qua một điểm cố định khi đường tròn \((O)\) thay đổi.
Câu 4 (5,0 điểm): Một số nguyên dương \(n \ge 3\) được gọi là số cân bằng nếu như tồn tại một tập hợp \(S\) gồm \(n\) số nguyên dương sao cho nếu ta bỏ đi bất kì một phần tử nào của \(S\) thì tất cả các phần tử còn lại có thể chia ra làm hai tập mà tổng các phần tử trong mỗi tập bằng nhau (số các số trong các tập có thể khác nhau).
a) Chứng minh rằng nếu \(n\) là số cân bằng thì \(n\) lẻ và \(n \ge 7\).
b) Hãy tìm tất cả các số cân bằng.
NGÀY THI THỨ HAI (23/09/2026)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (5,0 điểm): Cho dãy số \((x_n)\) xác định bởi:
\[\begin{cases} x_1 = \frac{9}{8} \\ 3(n + 3)^2 x_n = 3n^2 x_{n+1} - (2n + 3)x_{n+1}x_n, \quad \forall n \ge 1 \end{cases}\]
Tìm \(\lim x_n\).
Câu 2 (5,0 điểm): Cho \(P(x)\) là đa thức bậc \(n\) (với \(n \in \mathbb{N}^*\)) có hệ số cao nhất bằng 1 và có đúng \(n\) nghiệm thực phân biệt. Biết rằng tồn tại duy nhất số thực \(a\) mà:
\[P(4a^2 + 4a + 2026) = 0\]
Chứng minh đa thức \(P(4x^2 + 4x + 2026)\) chia hết cho đa thức \((2x + 1)^2\) và \(P(2026) \ge 1\).
Câu 3 (5,0 điểm): Tìm tất cả các số nguyên dương \(a, b, c, p\) sao cho \(p\) và \(p + 2\) đều là các số nguyên tố lẻ thỏa mãn:
\[2^a p^b = (p + 2)^c - 1\]
Câu 4 (5,0 điểm): Cho tam giác \(ABC\) (\(AB < AC\)) nhọn và nội tiếp đường tròn \((O)\) có tâm \(O\), bán kính \(R\). Đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại trung điểm \(M\) của \(BC\) cắt các đường thẳng \(AB, AC\) lần lượt tại \(Y\) và \(X\).
a) Gọi \(I, r'\) lần lượt là tâm và bán kính đường tròn đường kính \(XY\). Chứng minh rằng \(OI^2 = R^2 + r'^2\).
b) Tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn \((O)\) cắt đường thẳng \(OM\) tại \(P\). Qua \(I\) kẻ đường thẳng song song với \(AO\) cắt đường thẳng qua \(P\) song song với \(BC\) tại \(Z\). Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(H, M, Z\) thẳng hàng.
