Tài liệu tuyển tập trọn bộ đề thi Học sinh giỏi vòng II cấp THPT môn Toán năm 2026 của Sở Giáo dục và Đào tạo Tây Ninh (gồm buổi thi thứ nh...
BUỔI THI THỨ NHẤT (Ngày 19/09/2026)
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
\[\begin{cases} x + y = 3\sqrt{y-5} + 3\sqrt{x+3} \\ \sqrt{x^2+6}(y-x) + 2\sqrt{xy} = 3y \end{cases}\]
Tìm tất cả các hàm \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn:
\[f(f(x)+y) = f(x^4-y) + 8yf(x)\left[(f(x))^2 + y^2\right], \quad \forall x,y \in \mathbb{R}\]
Cho tứ giác lồi \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC, BD\) cắt nhau tại \(O\) và không vuông góc nhau, đồng thời hai đường chéo không vuông góc với các cạnh của tứ giác. Gọi \(d_1, d_2, d_3\) lần lượt là các đường thẳng đi qua \(O\) và vuông góc với các đường thẳng \(AB, AD, BC\). Trên đường thẳng \(d_1\) lấy một điểm \(G\) di động. Đường thẳng \(GA\) cắt \(d_2\) tại \(F\) sao cho điểm \(A\) nằm giữa \(G\) và \(F\), đường thẳng \(GB\) cắt \(d_3\) tại \(H\) sao cho điểm \(B\) nằm giữa \(G\) và \(H\).
a) Gọi \(K, L\) lần lượt là trực tâm của các tam giác \(OAD\) và \(OBC\). Gọi \((C_1), (C_2)\) lần lượt là đường tròn đường kính \(AB\) và \(CD\). Chứng minh rằng đường thẳng \(KL\) chính là trục đẳng phương \(\Delta\) của hai đường tròn \((C_1)\) và \((C_2)\).
b) Chứng minh khi \(G\) thay đổi, đường thẳng \(FH\) luôn đi qua một điểm cố định hoặc luôn song song với một đường thẳng cố định.
Trên bảng được viết \(2026\) số nguyên. Mỗi bước, giáo viên cho phép học sinh thực hiện thao tác như sau: Chọn ra hai số \(a\) và \(b\) bất kỳ trên bảng thỏa mãn điều kiện khoảng cách giữa chúng lớn hơn \(70\) (tức là \(|a-b| > 70\)), sau đó xóa hai số này đi và viết lên bảng hai số nguyên mới là \(\lfloor \frac{a+b}{2} \rfloor\) và \(\lceil \frac{a+b}{2} \rceil\).
(Trong đó, ký hiệu \(\lfloor x \rfloor\) là phần nguyên của \(x\), tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá \(x\); và \(\lceil x \rceil\) là phần trần của \(x\), tức là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng \(x\)).
a) Chứng minh sau một số hữu hạn bước, quá trình trên phải dừng lại (tức là không thể tìm được cặp số \(a, b\) nào thỏa mãn điều kiện \(|a-b| > 70\)).
b) Giả sử quá trình đã dừng lại. Chứng minh trên bảng luôn tồn tại ít nhất \(29\) số có giá trị bằng nhau.
BUỔI THI THỨ HAI (Ngày 20/09/2026)
a) (2,5 điểm) Cho hai số nguyên dương \(u, v\) nguyên tố cùng nhau. Chứng minh mọi ước nguyên tố \(q > 3\) của \(A = u^2 - uv + v^2\) đều có dạng \(6k+1, k \in \mathbb{N}^*\).
b) (3,5 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((x, y)\), với \((x, 70) = 1\), thỏa mãn phương trình sau:
\[x^6 + 70^6 = 2089^y - 62^y\]
Cho dãy số \((u_n)\) được xác định bởi:
\[\begin{cases} u_1 = 3, \\ u_{n+1} = \dfrac{2(n+1)u_n - n - 2}{n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}\]
a) (3,0 điểm) Tính \(\lim \left( \dfrac{u_n - 2^n}{n} \right)\).
b) (4,0 điểm) Có hay không số \(i \in \mathbb{N}^*\) sao cho \(u_i u_{i+1} = m \cdot 2027^2\) với \(m\) là một số nguyên dương? Tại sao?
a) (3,0 điểm) Cho \(A\) là bảng các ô vuông có kích thước \(2026 \times 2026\). Điền vào mỗi ô của bảng \(A\) một số thuộc tập hợp \(M = \{-1; 0; 1\}\). Có bao nhiêu cách điền sao cho tổng của bốn số trên mỗi bảng vuông con \(2 \times 2\) bất kỳ đều bằng \(0\)?
b) (4,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tập hợp \(S\) gồm \(62\) điểm phân biệt có tọa độ nguyên sao cho không có \(3\) điểm nào thẳng hàng. Với mỗi cặp điểm phân biệt \(A(x_A, y_A)\) và \(B(x_B, y_B)\) thuộc \(S\), ta xét đại lượng:
\[T(A,B) = (x_A - x_B)^2 + 70(y_A - y_B)^2\]
Hai điểm \(A, B\) được gọi là "liên kết" với nhau nếu \(T(A,B)\) chia hết cho \(3\).
Chứng minh tồn tại một tam giác có ba đỉnh thuộc \(S\), đôi một "liên kết" với nhau mà diện tích là một số nguyên chia hết cho \(9\).
