Tóm tắt nội dung đề thi: Tài liệu là đề thi thử số 34 môn Toán kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12. Đề thi xây dựng theo cấu trúc ch...
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN
Câu 1. Cho hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) là đường cong trong hình vẽ, hàm số \(y = f(x)\) đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. \((-\infty; 2)\)
B. \((0; 2)\)
C. \((-1; 2)\)
D. \((2; +\infty)\)
Lời giải:
Chọn B
Theo đồ thị \(y = f'(x)\) đã cho, \(f'(x) > 0\) trên khoảng \((0; 2)\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \((0; 2)\).
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m^2 - 4)x + 3\) đạt cực đại tại \(x = 1\)?
A. \(m = -1\)
B. \(m = 1\)
C. \(m = 5\)
D. \(m = 3\)
Lời giải:
Chọn D
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có \(y' = x^2 - 2mx + m^2 - 4\).
Hàm số đạt cực trị tại \(x = 1 \Rightarrow 1^2 - 2m\cdot 1 + m^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow m^2 - 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m = -1 \\ m = 3 \end{array}\right.\)
Với \(m = -1\), \(y' = x^2 + 2x - 3\); \(y''(1) = 4 > 0\) (hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\), loại).
Với \(m = 3\), \(y' = x^2 - 6x + 5\); \(y''(1) = -4 < 0\) (hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\), thỏa mãn).
Câu 3. Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s(t) = -t^3 + 6t^2 + t + 1\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong 5 giây đầu tiên đó?
A. \(13\text{ m/s}\)
B. \(14\text{ m/s}\)
C. \(15\text{ m/s}\)
D. \(16\text{ m/s}\)
Lời giải:
Chọn A
Vận tốc tức thời \(v(t) = s'(t) = -3t^2 + 12t + 1\).
Ta có \(v'(t) = -6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = 2\).
Bảng biến thiên trên \([0; 5]\) cho thấy giá trị lớn nhất của vận tốc đạt được tại \(t = 2\) với \(v(2) = 13\text{ m/s}\).
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục và xác định trên \(\mathbb{R}\), đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ \(-1; 1; 4\).
a) Hàm số \(y = f(x)\) có 3 điểm cực trị.
b) \(f(1) > f(4)\).
c) Hàm số \(g(x) = f(x^2 - x)\) đồng biến trên khoảng \((2; +\infty)\).
d) Hàm số \(g(x) = f(x^2 - x)\) đạt cực tiểu tại \(x = 1\).
Lời giải:
a) Sai. Phương trình \(f'(x) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu qua các nghiệm đó nên hàm số có 3 điểm cực trị.
b) Đúng. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((1; 4)\) nên \(f(1) > f(4)\).
c) Đúng. Ta có \(g'(x) = (2x - 1)f'(x^2 - x)\). Với \(x > 2\) thì \(2x - 1 > 0\) và \(x^2 - x > 2\) làm cho \(f'(x^2 - x) > 0\), do đó \(g'(x) > 0\).
d) Sai.
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1. Cho hàm số bậc ba \(y = f(x)\) có đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Gọi \(N\) là số nghiệm thực của phương trình \(f(f(x)) = 0\). Khi đó \(N\) bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Trả lời: 7
Dựa vào đồ thị ta có phương trình \(f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = a \in (-1; 0) \\ x = 1 \\ x = b \in (2; 3) \end{array}\right.\)
Khi đó \(f(f(x)) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} f(x) = a \in (-1; 0) \quad (3 \text{ nghiệm}) \\ f(x) = 1 \quad (3 \text{ nghiệm}) \\ f(x) = b \in (2; 3) \quad (1 \text{ nghiệm}) \end{array}\right.\)
Tổng số nghiệm thực phân biệt là \(3 + 3 + 1 = 7\).
