Tóm tắt nội dung: Tài liệu tuyển chọn 14 câu hỏi phần Trả lời ngắn trích từ Đề thi chọn Học sinh giỏi thành phố môn Toán lớp 12 (Bảng A) –...
Tóm tắt nội dung: Tài liệu tuyển chọn 14 câu hỏi phần Trả lời ngắn trích từ Đề thi chọn Học sinh giỏi thành phố môn Toán lớp 12 (Bảng A) – Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, năm học 2026 - 2027. Đề thi tổng hợp kiến thức chuyên sâu thuộc nhiều chủ đề quan trọng: Xác suất & Biến cố, Vận tốc tức thời, Sơ đồ Venn & Tập hợp, Giới hạn hàm số, Ứng dụng phương trình lượng giác vào bài toán thực tế Vệ tinh, Thống kê ghép nhóm (Mốt), Hình học không gian (Góc nhị diện, Khoảng cách), Phương trình Logarit, Đếm hình chữ nhật có diện tích lẻ, Dãy số & Cấp số, Lượng giác tam giác và Hàm số hợp liên quan đến đồ thị đạo hàm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI - KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2026 - 2027
Môn thi: TOÁN (BẢNG A) | Thời gian làm bài: 180 phút
PHẦN I - Trả lời ngắn (12,0 điểm)
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 15. Với mỗi câu hỏi, thí sinh viết kết quả vào giấy thi.
Câu 1. Xét \(A\) và \(B\) là hai biến cố của một phép thử. Biết rằng xác suất của các biến cố \(\overline{A}\), \(B\), \(A \cap B\) lần lượt là \(P(\overline{A}) = 0{,}7\); \(P(B) = 0{,}6\) và \(P(A \cap B) = 0{,}1\). Hỏi xác suất của biến cố \(A \cup B\) bằng bao nhiêu?
Câu 2. Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là \(s(t) = -\frac{1}{2}t^2 + 20t\) (đơn vị: mét), với \(t \ge 0\) (đơn vị: giây). Sau 8 giây tính từ khi chất điểm bắt đầu chuyển động, vận tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu mét/giây?
Câu 3. Ban chấp hành Đoàn thanh niên lớp 10A tổ chức cho các bạn trong lớp đăng kí tham gia các câu lạc bộ (CLB) của trường. Kết quả thu được như sau:
- Tham gia CLB bóng đá: có 10 học sinh;
- Tham gia CLB bóng chuyền: có 7 học sinh;
- Tham gia CLB bóng rổ: có 6 học sinh.
Trong danh sách đăng kí ở trên:
- Có 4 học sinh đăng kí tham gia cả CLB bóng đá và CLB bóng chuyền;
- Có 3 học sinh đăng kí tham gia cả CLB bóng đá và CLB bóng rổ;
- Có 2 học sinh đăng kí tham gia cả CLB bóng chuyền và CLB bóng rổ;
- Có 1 học sinh đăng kí tham gia cả ba câu lạc bộ.
Hỏi có bao nhiêu học sinh lớp 10A đăng kí tham gia ít nhất một trong ba câu lạc bộ?
Câu 4. Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((0; 2)\) thỏa mãn \(\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 2}{x - 1} = 4\). Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to 1} \frac{2x - \sqrt{f(x) + 2}}{x^2 - 3x + 2}\) bằng bao nhiêu?
Câu 5. Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip (tham khảo hình vẽ). Giả sử độ cao \(h\) (km) của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất được mô hình hóa bởi công thức \(h = 550 - 450 \cos\left(\frac{\pi}{50}t\right)\), trong đó \(t\) (phút) là thời gian tính từ lúc vệ tinh bắt đầu bay vào quỹ đạo. Trong khoảng thời gian 200 phút tính từ lúc vệ tinh bắt đầu bay vào quỹ đạo, có bao nhiêu lần độ cao của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất là 325 km?
Câu 6. Kết quả đo khối lượng (đơn vị: gam) của 30 củ cà rốt ở một nông trại được cho bởi bảng dưới đây:
| Khối lượng (gam) | [70; 80) | [80; 90) | [90; 100) | [100; 110) | [110; 120) |
|---|---|---|---|---|---|
| Số củ cà rốt | 3 | 5 | 12 | 6 | 4 |
Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Câu 7. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a\), \(AD = 2a\); cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 2a\). Gọi \(\alpha\) là số đo của góc nhị diện \([S, BD, C]\). Hỏi \(\cos \alpha\) bằng bao nhiêu?
Câu 8. Tổng của tất cả các nghiệm của phương trình \(2\log_2(x + 5) + \log_2 x^2 = 2\log_2 6\) bằng bao nhiêu?
Câu 9. Một Bảng chữ nhật kích thước \(6 \times 8\) gồm 48 hình vuông có độ dài cạnh bằng 1. Gọi \(S\) là tập hợp các hình chữ nhật, có diện tích là một số nguyên lẻ, được tạo thành từ các hình vuông cạnh 1 của Bảng chữ nhật (tham khảo hình vẽ). Hỏi tập hợp \(S\) có bao nhiêu phần tử?
Câu 10. Cho dãy số \((u_n)\) với \(n \in \mathbb{N}^*\) thỏa mãn \(u_1 + u_2 + u_3 + \dots + u_n = 3n^2 - 1, \forall n \in \mathbb{N}^*\). Giá trị của biểu thức \(u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{19}\) bằng bao nhiêu?
Câu 11. Kí hiệu \(a, b, c\) tương ứng là độ dài các cạnh \(BC, CA, AB\) của tam giác \(ABC\). Biết rằng \(a(\cos B + \cos C) = b + c\) và \(\cos(A - B) = \frac{1}{2}\). Số đo của góc \(B\) bằng bao nhiêu độ?
Câu 12. Cho hai đường cong \((C_1): y = \log_a x\) và \((C_2): y = \log_b x\). Đường thẳng \(d_1: x = 8\) cắt các đường cong \((C_1), (C_2)\) lần lượt tại \(A\) và \(B\); đường thẳng \(d_2: x = 4\) cắt đường cong \((C_2)\) tại \(C\) (tham khảo hình vẽ). Biết rằng tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) và \(AB = 2\). Hỏi \(\log_2(ab)\) bằng bao nhiêu?
Câu 13. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh 1, \(\widehat{BAD} = 60^\circ\); cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 1\). Khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \((SCD)\) bằng bao nhiêu?
Câu 14. Cho hàm số \(y = f(x)\) là hàm số đa thức bậc sáu, có đồ thị của hàm số \(y = f'(x)\) như hình vẽ. Xét hàm số \(g(x) = f(x^2)\), hỏi bất phương trình \(g'(x) \ge 0\) có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc đoạn \([-2026; 2027]\)?
