Tóm tắt nội dung đề thi: Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 9 cấp trường THCS Giảng Võ gồm 5 câu hỏi tự luận với thời gian làm bài 120 phú...
Tóm tắt nội dung đề thi: Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 9 cấp trường THCS Giảng Võ gồm 5 câu hỏi tự luận với thời gian làm bài 120 phút. Đề kiểm tra toàn diện các kiến thức về Giải hệ phương trình, Bất đẳng thức, Số học, Xác suất thực tế, Hình học phẳng (Đường cao, Tam giác vuông, Chứng minh thẳng hàng) và Trò chơi toán học (Chiến thuật bốc sỏi).
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TRƯỜNG
Môn: TOÁN | Thời gian làm bài: 120 phút
Câu I (5,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình: \[\begin{cases} x + y = 2 \\ x^3 + y^3 = 26 \end{cases}\]
2) Cho các số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(2a^2 + 4b^2 + 9c^2 - 4ab - 6ac = 0\). Tính giá trị của biểu thức: \[P = \frac{c+1}{a+1} + \frac{b+2c}{2b+1} + \frac{b+1}{3c+1}\]
Câu II (5,0 điểm)
1) Cho các số nguyên \(a, b\) thỏa mãn \(a^2 + b^2 + a + b = 3ab\). Chứng minh \(ab(a-2)(b-2)\) chia hết cho 72.
2) Tìm tất cả các số nguyên tố \(p, q\) thỏa mãn \(p + 3q - 2\) và \(9pq + 1\) đồng thời là các số chính phương.
Câu III (3,0 điểm)
1) Có ba chiếc hộp. Hộp thứ nhất chứa các thẻ được đánh số 1, 2, 3. Hộp thứ hai chứa các thẻ được đánh số 4, 6, 8. Hộp thứ ba chứa các thẻ được đánh số 5, 7, 9. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một tấm thẻ rồi cộng ba số trên ba tấm thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số lẻ.
2) Cho các số thực \(a, b, c\) không âm thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[P = \frac{a}{b^2+3b+1} + \frac{b}{c^2+3c+1} + \frac{c}{a^2+3a+1}\]
Câu IV (6,0 điểm)
Cho \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\) (\(AB < AC\)), đường cao \(AH\). Gọi \(D\) và \(E\) lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm \(H\) đến các đường thẳng \(AB\) và \(AC\). Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(DE\), cắt đoạn thẳng \(BC\) tại điểm \(O\).
1) Chứng minh rằng \(AH^2 = DB \cdot DA + EA \cdot EC\).
2) Kẻ đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(AO\), cắt đường thẳng \(BC\) tại điểm \(K\). Chứng minh rằng \(\frac{BK}{BH} = \frac{CK}{CH}\).
3) Gọi \(Q\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(HE\), \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng \(QC\) và \(AO\). Chứng minh: Ba điểm \(K, I, J\) thẳng hàng.
Câu V (1,0 điểm)
Bạn An và Bình cùng chơi trò chơi bốc sỏi. Ban đầu trên bàn có 2026 viên sỏi. Luật chơi như sau:
i) Hai bạn sẽ lần lượt bốc sỏi;
ii) Với mỗi bạn, trong lượt chơi của mình phải bốc 1 hoặc 3 hoặc 4 viên sỏi;
iii) Người thua là người không thực hiện được lượt chơi của mình.
Biết An là người có lượt chơi đầu tiên. Hãy tìm chiến thuật để An luôn giành chiến thắng trong trò chơi này.
