Tài liệu tổng hợp trọn bộ Đề thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh và chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia môn Toán năm học 2026 - 2027 của Sở...
Tài liệu tổng hợp trọn bộ Đề thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh và chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia môn Toán năm học 2026 - 2027 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Ninh Bình. Đề thi gồm 7 bài toán tự luận trải rộng trên 2 ngày thi, bao gồm các chủ đề nâng cao: Dãy số, Phương trình hàm, Hình học phẳng, Tổ hợp, Bất đẳng thức và Số học.
NGÀY THỨ NHẤT (15/09/2026)
Bài 1 (5,0 điểm). Cho dãy số \((x_n)\) xác định bởi \(\begin{cases} x_1 = 1 \\ x_{n+1} = (n^2 + 1)x_1 x_2 \dots x_n, \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}\).
Với mỗi \(n \in \mathbb{N}^*\), đặt \(y_n = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}\).
a) Chứng minh rằng \(x_n \ge 2^{n-1}, \forall n \in \mathbb{N}^*\) và dãy số \((y_n)\) có giới hạn hữu hạn.
b) Chứng minh rằng \(\lim_{n \to +\infty} y_n\) là một số vô tỉ.
Với mỗi \(n \in \mathbb{N}^*\), đặt \(y_n = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}\).
a) Chứng minh rằng \(x_n \ge 2^{n-1}, \forall n \in \mathbb{N}^*\) và dãy số \((y_n)\) có giới hạn hữu hạn.
b) Chứng minh rằng \(\lim_{n \to +\infty} y_n\) là một số vô tỉ.
Bài 2 (5,0 điểm). Cho \(n\) là một số nguyên dương lẻ. Xét các hàm \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn:
\[f(x)f(y+x) = x^n f(f(y)) + (f(x))^2, \quad \forall x, y \in \mathbb{R} \quad (1)\]
a) Giả sử \(f\) không là hàm hằng. Chứng minh rằng:
i) \(f(x) = 0\) khi và chỉ khi \(x = 0\).
ii) \(f\) là một đơn ánh.
b) Tìm tất cả các hàm số \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn (1).
\[f(x)f(y+x) = x^n f(f(y)) + (f(x))^2, \quad \forall x, y \in \mathbb{R} \quad (1)\]
a) Giả sử \(f\) không là hàm hằng. Chứng minh rằng:
i) \(f(x) = 0\) khi và chỉ khi \(x = 0\).
ii) \(f\) là một đơn ánh.
b) Tìm tất cả các hàm số \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn (1).
Bài 3 (5,0 điểm). Cho tam giác \(ABC\) nhọn, không cân, có đường cao \(AH\). Gọi \(X, Y\) là hai điểm phân biệt thay đổi trên cạnh \(BC\) sao cho \(\widehat{CAX} = \widehat{BAY}\); \(K, S\) tương ứng là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(AX, AY\); \(T, L\) tương ứng là hình chiếu vuông góc của \(C\) lên \(AX, AY\).
a) Chứng minh rằng ba đường thẳng \(AH, TL, SK\) đồng quy.
b) Chứng minh rằng giao điểm của \(KL\) và \(ST\) thuộc một đường thẳng cố định khi \(X, Y\) thay đổi trên cạnh \(BC\).
a) Chứng minh rằng ba đường thẳng \(AH, TL, SK\) đồng quy.
b) Chứng minh rằng giao điểm của \(KL\) và \(ST\) thuộc một đường thẳng cố định khi \(X, Y\) thay đổi trên cạnh \(BC\).
Bài 4 (5,0 điểm). Cho các số nguyên dương \(m, n\). Xét một bảng ô vuông kích thước \(3m \times 6n\) (gồm \(3m\) hàng và \(6n\) cột). Trên bảng đó một số ô có màu trắng và các ô còn lại màu đỏ. Gọi \(T\) là số bộ ba \((C_1, C_2, C_3)\) gồm các ô, trong đó hai ô đầu tiên nằm trên cùng một hàng và hai ô cuối cùng nằm trên cùng một cột, với \(C_1\) và \(C_3\) là ô trắng còn \(C_2\) là ô đỏ. Tìm giá trị lớn nhất của \(T\).
NGÀY THỨ HAI (16/09/2026)
Bài 5 (6,0 điểm). Cho số nguyên dương \(n\). Xét các số thực \(x_1, x_2, \dots, x_n\) thỏa mãn \(|x_i| \le 1, \forall i = 1, 2, \dots, n\); và \(x_1 + x_2 + \dots + x_n = 0\). Với mỗi \(k \in \{1, 2, \dots, n\}\), đặt \(S_k = x_1 + 2x_2 + \dots + kx_k\).
a) Chứng minh rằng tồn tại các số \(p, q \in \{1, 2, \dots, n\}\) (không nhất thiết phân biệt) sao cho \(S_p \le 0\) và \(|S_q| \le \frac{2q+1}{4}\).
b) Khi \(n \ge 3\), chứng minh rằng tồn tại các số thực \(x_1, x_2, \dots, x_n\) thỏa mãn các điều kiện của bài toán sao cho với mọi \(k \in \{1, 2, \dots, n\}\) ta đều có \(|S_k| \ge \frac{2k+1}{4}\).
a) Chứng minh rằng tồn tại các số \(p, q \in \{1, 2, \dots, n\}\) (không nhất thiết phân biệt) sao cho \(S_p \le 0\) và \(|S_q| \le \frac{2q+1}{4}\).
b) Khi \(n \ge 3\), chứng minh rằng tồn tại các số thực \(x_1, x_2, \dots, x_n\) thỏa mãn các điều kiện của bài toán sao cho với mọi \(k \in \{1, 2, \dots, n\}\) ta đều có \(|S_k| \ge \frac{2k+1}{4}\).
Bài 6 (7,0 điểm).
a) Với mỗi số nguyên dương \(n\), gọi \(\sigma(n)\) là tổng các ước dương của \(n\). Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương \(n\) sao cho \(n\) là ước của \(2^{\sigma(n)} - 1\).
b) Cho dãy số nguyên dương \((a_n)_{n \ge 1}\) và dãy số nguyên tố \((p_n)_{n \ge 1}\) thỏa mãn với mỗi \(n \in \mathbb{N}^*\), ta có \(p_n \mid a_n\) và \(a_{n+1} = \frac{a_n}{p_n}(p_n^{1013} - 1)\). Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương \(m\) sao cho \(a_m\) chia hết cho 2026.
a) Với mỗi số nguyên dương \(n\), gọi \(\sigma(n)\) là tổng các ước dương của \(n\). Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương \(n\) sao cho \(n\) là ước của \(2^{\sigma(n)} - 1\).
b) Cho dãy số nguyên dương \((a_n)_{n \ge 1}\) và dãy số nguyên tố \((p_n)_{n \ge 1}\) thỏa mãn với mỗi \(n \in \mathbb{N}^*\), ta có \(p_n \mid a_n\) và \(a_{n+1} = \frac{a_n}{p_n}(p_n^{1013} - 1)\). Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương \(m\) sao cho \(a_m\) chia hết cho 2026.
Bài 7 (7,0 điểm). Cho tam giác \(ABC\) nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn \((O)\), có ba đường cao \(AD, BE, CF\) đồng quy tại \(H\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Các đoạn thẳng \(AG, BG, CG\) theo thứ tự cắt đường tròn \((DEF)\) tại \(I, J, K\). Các đường tròn \((AID), (BJE), (CKF)\) cắt lại đường tròn \((O)\) tại các điểm thứ hai tương ứng là \(X, Y, Z\).
a) Chứng minh rằng ba đường thẳng \(AX, BY, CZ\) đồng quy tại một điểm trên đường thẳng \(OH\).
b) Đường thẳng \(AC\) cắt đường tròn \((AHB)\) tại điểm thứ hai là \(N\); đường thẳng \(AB\) cắt đường tròn \((AHC)\) tại điểm thứ hai là \(M\). Đường tròn \((HMN)\) cắt lại các đường thẳng \(AB, AC\) tại các điểm thứ hai tương ứng là \(S, T\). Chứng minh \(ST\) vuông góc với \(OH\).
a) Chứng minh rằng ba đường thẳng \(AX, BY, CZ\) đồng quy tại một điểm trên đường thẳng \(OH\).
b) Đường thẳng \(AC\) cắt đường tròn \((AHB)\) tại điểm thứ hai là \(N\); đường thẳng \(AB\) cắt đường tròn \((AHC)\) tại điểm thứ hai là \(M\). Đường tròn \((HMN)\) cắt lại các đường thẳng \(AB, AC\) tại các điểm thứ hai tương ứng là \(S, T\). Chứng minh \(ST\) vuông góc với \(OH\).
