Tài liệu tổng hợp toàn bộ đề thi chính thức Kỳ thi Học sinh giỏi văn hóa môn Toán lớp 10 năm học 2025 - 2026 của Trường THPT Quảng Trị (Sở ...
ĐỀ THI CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI TOÁN 10 - THPT QUẢNG TRỊ
Câu 1 (6 điểm):
a. Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{4}{2026 - x} - \frac{x + 4}{\sqrt{x^2 - 7x + 6}}\).
b. Cho hàm số \(y = x^2 - 3x + 4\) có đồ thị là \((P)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình: \(y = 2x - m\), với \(m\) là tham số. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(d\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt \(A, B\) sao cho \(OA^2 + OB^2 = 57\), với \(O\) là gốc tọa độ.
Câu 2 (5 điểm):
a. Giải phương trình \((x^2 - x - 1)\sqrt{-x^2 + 7x - 6} = -x^3 + 5x^2 - 3x - 4\).
b. Trong năm 2026, một cửa hàng kinh doanh xe máy dự định kinh doanh hai loại xe máy Lead và xe máy Vision, với tổng số vốn ban đầu không vượt quá 36 tỉ đồng. Giá nhập về 1 chiếc xe máy Lead là 40 triệu đồng, lợi nhuận dự kiến là 5 triệu đồng một chiếc. Giá nhập về 1 chiếc xe máy Vision là 30 triệu đồng, lợi nhuận dự kiến là 3,2 triệu đồng một chiếc. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu thị trường không vượt quá 1100 chiếc xe cả hai loại và nhu cầu xe Lead không vượt quá 1,5 lần nhu cầu xe Vision. Hỏi lợi nhuận có thể thu được lớn nhất của cửa hàng là bao nhiêu tiền?
Câu 3 (5 điểm):
a. Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\). Gọi \(N, P\) lần lượt là các điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow{BN} + 5\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{0}\) và \(\overrightarrow{PA} = k\overrightarrow{PC}\), \(k \in \mathbb{R}\). Tìm \(k\) để 3 điểm \(G, P, N\) thẳng hàng.
b. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G(2; -3)\) và \(B(1; 1)\). Đường thẳng \(\Delta: x - y - 4 = 0\) đi qua \(A\) và đường phân giác trong của góc \(A\) cắt \(BC\) tại điểm \(I\) sao cho diện tích tam giác \(IAB\) bằng \(\frac{4}{5}\) diện tích tam giác \(IAC\). Biết điểm \(A\) có hoành độ dương, viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\).
Câu 4 (2 điểm):
Cho các số thực \(x, y\) thỏa mãn \(x^2 + y^2 = 1 + xy\). Gọi \(M, m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(S = x^4 + y^4 - x^2 y^2\). Tính giá trị của \(M + m\).
Câu 5 (2 điểm):
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số dạng \(\overline{abc}\) thỏa mãn \(a; b; c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác cân (kể cả tam giác đều)?
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN TRÍCH XUẤT
Câu 1a (3,0 điểm):
Tập xác định của hàm số là \(D = (-\infty; 1) \cup (6; +\infty) \setminus \{2026\}\).
Câu 1b (3,0 điểm):
Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và \((P)\) là nghiệm của phương trình:
\[x^2 - 3x + 4 = 2x - m \iff x^2 - 5x + 4 + m = 0 \quad (1)\]
Ta có \(\Delta = 25 - 4.1.(4 + m) = 9 - 4m\).
Đường thẳng \(d\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt \(A, B\) khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(\iff \Delta > 0 \iff 9 - 4m > 0 \iff m < \frac{9}{4} \quad (*)\).
Với điều kiện \((*)\), gọi hai giao điểm của \(d\) và \((P)\) là \(A(x_1; 2x_1 - m)\), \(B(x_2; 2x_2 - m)\), trong đó \(x_1, x_2\) là các nghiệm của phương trình (1).
Theo định lý Vi-ét ta có: \(x_1 + x_2 = 5, \quad x_1 x_2 = m + 4\).
Ta có: \(OA^2 + OB^2 = 57 \iff x_1^2 + (2x_1 - m)^2 + x_2^2 + (2x_2 - m)^2 = 57\)
\(\iff 5(x_1^2 + x_2^2) - 4m(x_1 + x_2) + 2m^2 = 57\)
\(\iff 5(x_1 + x_2)^2 - 10x_1 x_2 - 4m(x_1 + x_2) + 2m^2 = 57\)
\(\iff 5.5^2 - 10(m + 4) - 4m.5 + 2m^2 = 57\)
\(\iff 2m^2 - 30m + 28 = 0 \iff \begin{bmatrix} m = 1 \\ m = 14 \end{bmatrix}\)
Đối chiếu với điều kiện \((*)\) ta thấy \(m = 14\) bị loại, \(m = 1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 2a (3,0 điểm):
Giải phương trình \((x^2 - x - 1)\sqrt{-x^2 + 7x - 6} = -x^3 + 5x^2 - 3x - 4\).
Điều kiện: \(-x^2 + 7x - 6 \ge 0 \iff 1 \le x \le 6\).
Với điều kiện đó, phương trình biến đổi thành:
\((x^2 - x - 1)\sqrt{-x^2 + 7x - 6} = (x^2 - x - 1)(4 - x)\)
\(\iff (x^2 - x - 1)\left(\sqrt{-x^2 + 7x - 6} + x - 4\right) = 0\)
\(\iff \begin{bmatrix} \sqrt{-x^2 + 7x - 6} + x - 4 = 0 & (1) \\ x^2 - x - 1 = 0 & (2) \end{bmatrix}\)
Xét (1): \(\sqrt{-x^2 + 7x - 6} = 4 - x \iff \begin{cases} 4 - x \ge 0 \\ -x^2 + 7x - 6 = 16 - 8x + x^2 \end{cases}\)
\(\iff \begin{cases} x \le 4 \\ 2x^2 - 15x + 22 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \le 4 \\ \begin{bmatrix} x = 2 \\ x = \frac{11}{2} \end{bmatrix} \end{cases} \iff x = 2\).
