Tài liệu bao gồm toàn bộ nội dung đề thi chính thức Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh thành lập đội tuyển tham dự Kỳ thi chọn HSG Quốc gia...
NÀY THI THỨ NHẤT (17/9/2026)
Bài 1 (6,0 điểm). Với mỗi số nguyên dương \(n \ge 2\), xét phương trình
\[\frac{1}{x+1} + \frac{1}{2(x+2)} + \dots + \frac{1}{n(x+n)} = 1\]
a) Chứng minh phương trình trên luôn có một nghiệm dương duy nhất \(x_n\) với mỗi \(n \ge 2\).
b) Đặt \(y_n = n^{\frac{1}{2026}}(1-x_n), \forall n \ge 2\). Tính \(\lim y_n\).
Bài 2 (7,0 điểm). Một số nguyên dương \(n > 1\) được gọi là "đẹp" nếu tồn tại các số nguyên dương đôi một phân biệt \(d_1, d_2, \dots, d_k\) (với \(k \ge 2\)) sao cho \(n = d_1 d_2 \dots d_k\) và \(d_i^2 \mid (n + 3d_i), \forall i = \overline{1, k}\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số nguyên dương "đẹp".
a) Giả sử \(n \in S\) là số chính phương không chia hết cho 3, \(n = d_1 d_2 \dots d_k\) và \(d_i^2 \mid (n + 3d_i), \forall i = \overline{1, k}\). Chứng minh các số \(d_i (i = 1, 2, \dots, k)\) đôi một nguyên tố cùng nhau và là các số chính phương.
b) Chứng minh tập hợp \(S\) có vô hạn phần tử.
Bài 3 (7,0 điểm). Cho hình bình hành \(ABCD\) có góc \(A\) nhọn, hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\). Đường tròn \((I)\) nội tiếp tam giác \(OBC\) tiếp xúc với \(BC\) tại \(E\).
a) Giả sử tam giác \(ADE\) nhọn. Gọi \(O_1, O_2, O_3\) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác \(ABE, ADE, CDE\). Chứng minh trực tâm của tam giác \(O_1 O_2 O_3\) nằm trên \(AD\).
b) Lấy điểm \(S\) khác \(O\) sao cho \(SA\) và \(SD\) cùng tiếp xúc với \((I)\). Gọi \(K\) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác \(SAD\). Chứng minh \(OK\) đi qua trung điểm của \(AD\).
NGÀY THI THỨ HAI (18/9/2026)
Bài 1 (7,0 điểm). Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O)\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm cung nhỏ \(BC\) và cung \(\widehat{BAC}\) của đường tròn \((O)\).
a) Gọi \(I, J\) lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác \(AMB, AMC\). Chứng minh bốn điểm \(A, N, I, J\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi \((K)\) là đường tròn tiếp xúc với \(AM, AB\) và tiếp xúc trong với \((O)\); \((L)\) là đường tròn tiếp xúc với \(AM, AC\) và tiếp xúc trong với \((O)\). Tiếp tuyến chung trong (khác \(AM\)) của \((K)\) và \((L)\) cắt \(MN\) tại \(Z\). Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AZN\) tiếp xúc với \((K)\) và \((L)\).
Bài 2 (7,0 điểm). Có \(N\) người ngồi thành một vòng tròn (với \(N \ge 3\)), mỗi người cầm \(k\) tấm thẻ (với \(k \ge 2\)), trên mỗi tấm thẻ được ghi một số thuộc tập \(\{1; 2; 3; \dots; N\}\). Mỗi số thuộc tập trên được ghi đúng trên \(k\) tấm thẻ, tức là có \(k\) thẻ được ghi số 1, \(k\) thẻ được ghi số 2, ..., \(k\) thẻ được ghi số \(N\). Cả \(N\) người cùng thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lượt chơi, mỗi người đều giữ lại những thẻ được ghi số lớn nhất trong những thẻ mà mình đang có (có thể nhiều hơn một thẻ) rồi chuyển cho người bên tay trái những thẻ còn lại. Trò chơi sẽ dừng lại khi xuất hiện ít nhất một người giữ trong tay \(k\) thẻ có ghi số giống nhau (có thể họ đang giữ nhiều hơn \(k\) thẻ).
a) Với \(N = 25, k = 2\), chứng minh rằng trò chơi luôn dừng lại sau hữu hạn lượt chơi mà không phụ thuộc vào việc ban đầu họ cầm thẻ thế nào.
b) Tìm tất cả các giá trị của \(k\) và \(N\) để trò chơi dừng lại sau hữu hạn lượt chơi mà không phụ thuộc vào việc ban đầu họ cầm thẻ thế nào.
Bài 3 (6,0 điểm). Cho đa thức hệ số thực \(P(x) = x^{2026} + a_1 x^{2025} + \dots + a_{2025} x + a_{2026}\) với \(a_{2024} = 0\) và \(a_{2025} a_{2026} > 0\). Biết rằng đa thức \(P(x)\) có 2026 nghiệm thực.
a) Chứng minh rằng \(P(x)\) có cả nghiệm âm và nghiệm dương.
b) Xét dãy đa thức \(P_1(x) = P(x), P_{n+1}(x) = P(P_n(x)), \forall n \ge 1\). Chứng minh rằng đa thức \(P_{2026}(x)\) có cả nghiệm âm và nghiệm dương.
