Tóm tắt bài viết: Bộ đề thi thử chọn học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố môn Toán lớp 12 năm học 2026 - 2027 gồm 2 phần: Trắc nghiệm (nhiều l...
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Bảng sau đây cho biết số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia Việt Nam năm 2018 (số liệu gần đúng):
| Sân vận động | Cẩm Phả | Thiên Trường | Hàng Đẫy | Thanh Hóa | Mỹ Đình |
|---|---|---|---|---|---|
| Chỗ ngồi | 20 120 | 21 315 | 23 405 | 20 120 | 37 546 |
Giá trị số trung vị của bảng số liệu trên là:
A. 20 120
B. 21 315
C. 23 405
D. 24 501
Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ thuyền thống, cho tam giác FCB có trực tâm \(H(2;1)\), chân đường cao hạ từ điểm \(A\) là điểm \(K(1;3)\) và trung điểm cạnh \(BC\) là điểm \(M(5;1)\). Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\).
A. \(x - 2y + 5 = 0\)
B. \(x + 2y - 7 = 0\)
C. \(2x + y - 5 = 0\)
D. \(x - 2y + 1 = 0\)
Câu 12. Đạo hàm của hàm số \(y = \ln(x^2 + 1)\) là:
A. \(y' = \dfrac{2x}{x^2 + 1}\)
B. \(y' = \dfrac{1}{x^2 + 1}\)
C. \(y' = \dfrac{x}{x^2 + 1}\)
D. \(y' = \dfrac{2}{x^2 + 1}\)
Câu 33. Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(a\) và \(AA' = a\sqrt{2}\). Thí sinh chọn Đúng hoặc Sai cho mỗi mệnh đề sau:
a) Gọi \(\alpha\) là góc giữa \(AA'\) và \((ABC)\), khi đó \(\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{6}}{3}\).
b) \(A'B \perp B'C\).
c) Gọi \(\beta\) là góc giữa \(A'B\) và \(BC'\), khi đó \(\cos \beta = \dfrac{1}{4}\).
d) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BB'\). Khi đó \(AM \perp A'C\).
PHẦN II. TỰ LUẬN
Câu 1 (3,0 điểm).
1) Cho hàm số \(y = f(x)\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) cũng là điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = f(x) + m\).
2) Người ta muốn làm một sàn nổi hình vuông nổi lên trên mặt hồ cá có bờ hồ là hai nhánh của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}\). Biết mặt sàn nổi là hình vuông \(ABCD\), trong đó 2 điểm \(A, C\) nằm trên hai nhánh của đồ thị và đối xứng nhau qua điểm \(I\) là giao hai đường tiệm cận. Tính diện tích nhỏ nhất của mặt sàn hình vuông mà người ta có thể xây dựng được.
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN TÓM TẮT
Đáp án Trắc nghiệm chọn lọc:
Câu 1: A | Câu 3: D | Câu 12: A
Câu 33: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai
Lời giải sơ lược Câu 1.2 (Tự luận):
Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị là \(I(1; 2)\). Lấy điểm \(A\left(x_0; \dfrac{2x_0 + 1}{x_0 - 1}\right)\) thuộc nhánh đồ thị với \(x_0 > 1\).
Ta có bình phương khoảng cách \(IA^2\):
\[IA^2 = (x_0 - 1)^2 + \dfrac{9}{(x_0 - 1)^2}\]
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
\[IA^2 \ge 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 \cdot \dfrac{9}{(x_0 - 1)^2}} = 6\]
Vì \(ABCD\) là hình vuông nhận \(I\) làm tâm nên diện tích sàn nổi nhỏ nhất bằng \(S = 2 \cdot IA^2 = 12\).
