Tài liệu bao gồm cấu trúc đề thi thử Học sinh giỏi môn Toán lớp 12 (Đề số 26) năm học mới được biên soạn chuẩn cấu trúc hiện nay. Đề thi tí...
Tài liệu bao gồm cấu trúc đề thi thử Học sinh giỏi môn Toán lớp 12 (Đề số 26) năm học mới được biên soạn chuẩn cấu trúc hiện nay. Đề thi tích hợp đầy đủ 3 dạng thức trắc nghiệm: Lựa chọn đáp án, Đúng/Sai và Trả lời ngắn, đi kèm hướng dẫn giải chi tiết giúp học sinh ôn luyện hiệu quả.
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN
Câu 1. Hàm số có đạo hàm \(y' = x(x-4)\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm nào?
A. \(x = 1\)
B. \(x = 0\)
C. \(x = 4\)
D. \(x = -3\)
Câu 3. Một người cần chèo thuyền từ vị trí \(A\) đến vị trí \(C\) trên bờ \(BD\), sau đó chạy bộ từ \(C\) đến \(B\). Biết vận tốc chèo thuyền bằng \(3\text{ km/h}\), vận tốc chạy bộ là \(6\text{ km/h}\), khoảng cách từ \(A\) đến bờ \(BD\) bằng \(4\text{ km}\), khoảng cách hai vị trí \(A, B\) bằng \(10\text{ km}\). Tính khoảng cách giữa hai vị trí \(C, D\) để tổng thời gian di chuyển là nhỏ nhất.
A. \(CD = 3{,}12\text{ km}\)
B. \(CD = 1{,}50\text{ km}\)
C. \(CD = 2{,}31\text{ km}\)
D. \(CD = 2{,}00\text{ km}\)
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1. Cho hàm số \(y = \frac{x + m}{x + 1}\) có đồ thị \((C)\).
a) Khi \(m = 2\) thì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
b) Có duy nhất một giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
c) Đồ thị \((C)\) cắt đường thẳng \(y = -x + m\) tại hai điểm phân biệt \(A, B\) thỏa mãn \(AB = 2\sqrt{10}\) khi \(m = \frac{p}{q}\) tối giản. Khi đó \(p + q = 13\).
d) Đồ thị \((C)\) cắt đường thẳng \(y = -x + m\) tại hai điểm phân biệt \(A, B\). Có duy nhất một giá trị nguyên của \(m\) để diện tích tam giác \(OAB\) gấp 3 lần diện tích tam giác \(OCD\).
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số đồng biến trên khoảng \((1; +\infty)\)?
Câu 2. Trên mảnh đất hình chữ nhật \(ABCD\) có diện tích \(3500\text{ m}^2\), người chủ lấy một phần đất để trồng cỏ hình chữ nhật có hai đỉnh đối diện là \(A\) và \(H\) (với \(H \in BD\)). Tính số tiền lớn nhất người chủ cần chuẩn bị để trồng cỏ (theo đơn vị trăm đồng), biết chi phí trồng cỏ là \(50.000\) đồng/\(\text{m}^2\).
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Phần I - Câu 1: Chọn C. Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 4\). Qua điểm \(x = 4\), \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 4\).
Phần I - Câu 3: Chọn C. Đặt \(CD = x\text{ (km)}\) (với \(0 \le x \le 10\)). Ta có \(AC = \sqrt{x^2 + 16}\). Thời gian di chuyển là \(t(x) = \frac{\sqrt{x^2+16}}{3} + \frac{10-x}{6}\). Lấy đạo hàm \(t'(x) = \frac{x}{3\sqrt{x^2+16}} - \frac{1}{6} = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2{,}31\text{ km}\).
Phần III - Câu 1: Trả lời: 20. Xét điều kiện đạo hàm \(y' \ge 0\) trên \((1; +\infty)\), ta tìm được 20 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.
Phần III - Câu 2: Trả lời: 4375. Diện tích phần đất trồng cỏ đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{3500}{4} = 875\text{ m}^2\). Chi phí lớn nhất là \(875 \times 50.000 = 43.750.000\) đồng, tương ứng với \(4375\) trăm đồng.
