Tóm tắt nội dung: Tài liệu là Đề thi thử số 7 chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2026 - 2027. Đề thi cấu trúc gồm phần Tr...
Tóm tắt nội dung: Tài liệu là Đề thi thử số 7 chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2026 - 2027. Đề thi cấu trúc gồm phần Trắc nghiệm (34 câu khách quan và đúng/sai) và phần Tự luận (5 câu hỏi phân hóa cao), bao quát các kiến thức trọng tâm như Thống kê, Giải tích, Hình học không gian Oxyz và Xác suất. Đề thi kèm theo đáp án chi tiết và hướng dẫn chấm điểm chính thức.
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (10,0 ĐIỂM)
Câu 1: Thời gian sử dụng điện thoại trong một ngày của 30 sinh viên được tổng hợp lại ở mẫu số liệu ghép nhóm trong bảng sau (đơn vị: phút):
| Thời gian (phút) | [0; 30) | [30; 60) | [60; 90) | [90; 120) | [120; 150) |
|---|---|---|---|---|---|
| Số sinh viên | 2 | 7 | 7 | 10 | 4 |
Trung vị của mẫu số liệu bằng:
A. 70
B. 75
C. 80
D. 81,4
Câu 2: Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của một số học sinh lớp 10 trường THPT A (đơn vị kg):
43; 50; 43; 48; 45; 45; 38; 48; 36; 56; 43; 45; 48
Giá trị bất thường của mẫu số liệu trên là:
A. 36
B. 56
C. 38
D. Không có
Câu 3: Một bảng xếp hạng đã tính điểm chuẩn hoá cho chỉ số nghiên cứu của một số trường đại học ở Việt Nam và thu được kết quả sau:
| Điểm | Dưới 20 | [20; 30) | [30; 40) | [40; 60) | [60; 80) | [80; 100) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Số trường | 4 | 19 | 6 | 2 | 3 | 1 |
Điểm ngưỡng thấp nhất để đưa ra danh sách các trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam là:
A. 20
B. 30
C. 40
D. 60
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD biết \( A(1; 2), B(3; -1), C(0; -4) \). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
A. \( D(-2; -1) \)
B. \( D(-2; 1) \)
C. \( D(2; -1) \)
D. \( D(2; 1) \)
Câu 7: Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả cầu trắng, 7 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh. Hộp thứ hai chứa 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu xanh và 5 quả cầu đỏ. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Xác suất để hai quả lấy ra có màu giống nhau bằng:
A. \( \frac{11}{45} \)
B. \( \frac{13}{45} \)
C. \( \frac{73}{225} \)
D. \( \frac{77}{225} \)
Câu 10: Tập hợp nghiệm thực của bất phương trình \( 2^{x^2 - 1} \le 8 \) là:
A. \( (-2; 2) \)
B. \( (-\infty; -2] \cup [2; +\infty) \)
C. \( [0; 2] \)
D. \( [-2; 2] \)
Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng góc giữa SC và (ABC) bằng \( 45^\circ \). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A. \( \frac{a^3 \sqrt{3}}{12} \)
B. \( \frac{a^3 \sqrt{3}}{8} \)
C. \( \frac{a^3 \sqrt{3}}{6} \)
D. \( \frac{a^3 \sqrt{3}}{24} \)
PHẦN II. TỰ LUẬN (10,0 ĐIỂM)
Câu 1 (3,0 điểm):
a) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3mx^2 + 4m^3 \) cắt đường tròn \( (C) \) có tâm \( I(1; 1) \), bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
b) Một nhà địa chất học đang khảo sát tại điểm A trên sa mạc và muốn đến điểm B cách A một đoạn 90 km. Xe chỉ chạy được 30 km/h trên sa mạc. Bằng cách sử dụng đường nhựa song song AB cách 20 km (vận tốc trên đường nhựa là 50 km/h), tính thời gian ngắn nhất để đi từ A đến B.
Câu 2 (1,5 điểm): Giải phương trình:
\[ \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 3} + 2\sqrt{(x-1)(x+3)} = 4 - 2x \]
Câu 5 (1,5 điểm): Trong một lớp học có n học sinh (\( n \ge 3 \)), trong đó gồm Lan, Huệ, Mai cùng \( n-3 \) học sinh khác. Khi xếp tùy ý các học sinh này vào một dãy ghế được đánh số từ 1 đến n, mỗi học sinh ngồi một ghế thì xác suất để số ghế của Lan bằng trung bình cộng số ghế của Huệ và số ghế của Mai là \( \frac{1}{5} \). Tính số học sinh của lớp.
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM TỰ LUẬN TÓM TẮT
Bảng đáp án trắc nghiệm:
1-D | 2-C | 3-C | 4-B | 5-A | 6-D | 7-C | 8-D | 9-B | 10-D
11-D | 12-C | 13-B | 14-D | 15-A | 16-A | 17-A | 18-A | 19-B | 20-D
Hướng dẫn Câu 5:
Số cách xếp n học sinh là \( n! \).
Để số ghế của Lan là trung bình cộng số ghế của Huệ và Mai, số ghế của Huệ và Mai phải cùng tính chẵn lẻ. Qua tính toán số cặp ghế thỏa mãn, ta lập phương trình xác suất:
\[ P(A) = \frac{2 \cdot \left[ \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor \cdot \left\lceil \frac{n-1}{2} \right\rceil \right] (n-3)!}{n!} = \frac{1}{5} \]
Giải phương trình suy ra số học sinh của lớp là \( n = 10 \).
