Tóm tắt nội dung: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2026 – 2027 được cấu trúc theo định dạng chuẩn gồm 3 phần: Tr...
Tóm tắt nội dung: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2026 – 2027 được cấu trúc theo định dạng chuẩn gồm 3 phần: Trắc nghiệm lựa chọn, Trắc nghiệm đúng/sai và Trắc nghiệm trả lời ngắn. Nội dung bao quát các chuyên đề trọng tâm như Cấp số cộng - Cấp số nhân, Hàm số và ứng dụng đạo hàm, Hình học không gian, Tổ hợp - Xác suất và Giải tích tọa độ.
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Câu 1: Cho ba số thực \(a, b, c\) trong đó \(a \ge 1\). Biết rằng \(a, b, c\) lập thành cấp số cộng và \(b, c, a\) lập thành cấp số nhân; tìm công bội \(q\) của cấp số nhân đó.
A. \(q = -2\)
B. \(q = 2\)
C. \(q = -\frac{1}{2}\)
D. \(q = 1\)
Câu 2: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi công thức \(G(x) = 0,025x^2(30 - x)\) trong đó \(x > 0\) và \(x\) là lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân. Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng bao nhiêu?
A. 15mg
B. 30mg
C. 40mg
D. 20mg
Câu 3: Nhiệt độ trung bình của 12 tháng tại thành phố Hải Phòng từ năm 1993 đến hết năm 2023 (30 năm) được cho trong bảng sau:
| Nhiệt độ (\(^\circ C\)) | [12; 14) | [14; 16) | [16; 18) | [18; 20) | [20; 22) |
|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | 1 | 3 | 12 | 9 | 5 |
Mốt của mẫu số liệu trên là:
A. 15,7
B. 16,0
C. 17,5
D. 17,0
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai
Câu 4: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a\), \(AD = a\sqrt{2}\). Cạnh bên \(SA = a\) và vuông góc với mặt đáy \((ABCD)\). Khi đó:
a) \(BD \perp SC\)
b) Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(SBD\) bằng: \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\) bằng: \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
d) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng: \(\frac{a^3\sqrt{2}}{3}\)
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 5: Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là 0,8 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; là 0,1 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Chị Hoa có tiếp xúc với người bệnh hai lần, một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất để chị Hoa bị lây bệnh từ người bệnh truyền nhiễm đó.
Câu 6: Số giờ có ánh sáng của thành phố A ở vĩ độ \(40^\circ\) bắc trong ngày thứ \(t\) của một năm không nhuận được cho bởi hàm số \(d(t) = 3\sin\left[\frac{\pi}{182}(t - 80)\right] + 12\) với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(1 \le t \le 365\). Thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất vào ngày thứ mấy trong năm?
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Lời giải Câu 1:
\(b, c, a\) lập thành cấp số nhân công bội \(q\) nên \(c = bq, a = bq^2\).
\(a, b, c\) lập thành cấp số cộng nên \(a + c = 2b \Leftrightarrow bq^2 + bq = 2b \Leftrightarrow q^2 + q - 2 = 0\).
Vì \(a \ge 1\) nên chọn \(q = -2\). Chọn đáp án A.
Lời giải Câu 2:
Xét hàm số \(G(x) = 0,025(30x^2 - x^3)\) với \(x > 0\).
Ta có \(G'(x) = 0,025(60x - 3x^2) = 0 \Leftrightarrow x = 20\).
Lập bảng biến thiên suy ra huyết áp giảm nhiều nhất khi tiêm \(20\text{mg}\). Chọn đáp án D.
Lời giải Câu 5:
Xác suất chị Hoa không bị lây bệnh trong cả 2 lần tiếp xúc là: \((1 - 0,8) \times (1 - 0,1) = 0,2 \times 0,9 = 0,18\).
Xác suất để chị Hoa bị lây bệnh là: \(1 - 0,18 = 0,82\).
Lời giải Câu 6:
Do \(\sin\left[\frac{\pi}{182}(t - 80)\right] \ge -1\) nên \(d(t)\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(\sin\left[\frac{\pi}{182}(t - 80)\right] = -1\).
Suy ra \(\frac{\pi}{182}(t - 80) = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 80 - 91 + 364k = -11 + 364k\).
Vì \(1 \le t \le 365\) nên chọn \(k = 1 \Rightarrow t = 353\). Trả lời: 353.
