Tóm tắt nội dung: Tài liệu trích chọn các bài toán trọng tâm trong kì thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán lớp 12. Nội dung bao g...
Tóm tắt nội dung: Tài liệu trích chọn các bài toán trọng tâm trong kì thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán lớp 12. Nội dung bao gồm các câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn, trắc nghiệm đúng/sai và câu hỏi trả lời ngắn thuộc các chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số, Hình học không gian, Phương pháp tọa độ Oxyz và Bài toán thực tế - Xác suất.
Phần I. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Câu 2. Bên trong một bảng hiệu quảng cáo sữa cho trẻ em, người ta mắc hai hệ thống bóng đèn. Hệ thống I gồm 2 bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm 2 bóng mắc song song. Khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau 8 giờ thắp sáng liên tục là 0,15. Biết tình trạng của mỗi bóng đèn là độc lập. Tính xác suất để cả hai hệ thống bị hỏng (không sáng) (kết quả được làm tròn đến hàng phần nghìn).
A. 0,006
B. 0,008
C. 0,004
D. 0,012
Lời giải:
Gọi \( A \) là biến cố: "Hệ thống II bị hỏng", ta có: \( P(A) = 0,15^2 = 0,0225 \).
Gọi \( B \) là biến cố: "Hệ thống I bị hỏng". Khi đó xác suất để hệ thống I hoạt động bình thường là: \( 0,85^2 = 0,7225 \).
Suy ra \( P(B) = 1 - 0,7225 = 0,2775 \).
Xác suất để cả hai hệ thống I, II đều bị hỏng là: \( P = P(A) \cdot P(B) = 0,0225 \cdot 0,2775 \approx 0,006 \).
Câu 3. Phương trình \( \cos 2x + 5\cos x + 3 = 0 \) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \( (0; 2\pi) \)?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Lời giải:
Ta có: \( \cos 2x + 5\cos x + 3 = 0 \Leftrightarrow 2\cos^2 x + 5\cos x + 2 = 0 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = -2 \text{ (loại)} \\ \cos x = -\frac{1}{2} \end{array} \right. \)
Vì \( x \in (0; 2\pi) \) nên \( \cos x = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{2\pi}{3} \) hoặc \( x = \frac{4\pi}{3} \).
Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc khoảng \( (0; 2\pi) \).
Phần II. Câu hỏi trắc nghiệm Đúng / Sai
Câu 1. Chi phí nhiên liệu của một chiếc tàu chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 4,8 nghìn đồng trên 1 giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi \( v = 10 \text{ km/h} \) thì chi phí nhiên liệu phần thứ hai bằng 0,6 nghìn đồng/giờ. Gọi \( v \) là vận tốc của tàu (km/h).
a) Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất trong thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là \( \frac{4,8}{v} \) (nghìn đồng).
b) Tổng chi phí nhiên liệu cho tàu chạy trong 1 giờ là \( 4,8 + 0,0006v^3 \) (nghìn đồng).
c) Tổng chi phí nhiên liệu tàu chạy trên quãng đường 1 km giảm khi vận tốc của tàu thuộc khoảng \( (0; 20) \).
d) Tổng chi phí nhiên liệu để tàu chạy trên quãng đường 1 km nhỏ nhất là 43 nghìn đồng.
Lời giải:
a) Thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là: \( t = \frac{1}{v} \) (giờ). Chi phí phần thứ nhất là \( \frac{4,8}{v} \) (nghìn đồng). → ĐÚNG
b) Chi phí phần thứ hai có dạng \( k \cdot v^3 \). Với \( v = 10 \Rightarrow k \cdot 10^3 = 0,6 \Rightarrow k = 0,0006 \). Tổng chi phí trong 1 giờ là \( f(v) = 4,8 + 0,0006v^3 \). → ĐÚNG
c) Tổng chi phí chạy 1 km là \( g(v) = \frac{4,8}{v} + 0,0006v^2 \). Ta có \( g'(v) = -\frac{4,8}{v^2} + 0,0012v = 0 \Leftrightarrow v = 20 \). Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (0; 20) \). → ĐÚNG
d) Giá trị nhỏ nhất đạt tại \( v = 20 \): \( g(20) = \frac{4,8}{20} + 0,0006 \cdot 20^2 = 0,24 + 0,24 = 0,48 \) nghìn đồng (480 đồng). → SAI
Phần III. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 3. Bác Bình có một nông trại ao nuôi cá, mỗi ngày thu hoạch được 2 tấn cá. Nếu bán cho thương lái với giá 30 nghìn đồng/kg thì bán hết cá, nếu giá bán cứ tăng thêm 2 nghìn đồng/kg thì số cá thừa sẽ tăng thêm 10 kg. Số cá thừa này được bán làm thức ăn chăn nuôi với giá 10 nghìn đồng/kg. Hỏi Bác Bình phải bán cho thương lái với giá bao nhiêu nghìn đồng/kg để doanh thu mỗi ngày đạt lớn nhất?
Lời giải:
Gọi \( x \) là số lần tăng thêm 2 nghìn đồng/kg (với \( x \ge 0 \)).
Giá bán cho thương lái là \( 30 + 2x \) (nghìn đồng/kg).
Số cá thừa không bán được cho thương lái là \( 10x \) (kg).
Số cá bán cho thương lái là \( 2000 - 10x \) (kg).
Tổng doanh thu mỗi ngày thu được là:
\[ f(x) = (2000 - 10x)(30 + 2x) + 10x \cdot 10 = -20x^2 + 3800x + 60000 \]
Hàm số bậc hai \( f(x) \) đạt giá trị lớn nhất tại \( x = -\frac{3800}{2(-20)} = 95 \).
Vậy giá bán tối ưu cho thương lái là: \( 30 + 2(95) = 220 \) (nghìn đồng/kg).
Đáp số: 220
