Tóm tắt nội dung: Đề thi thử Học sinh giỏi môn Toán 12 (Đề số 04) được thiết kế bám sát cấu trúc đề minh họa mới. Bài viết tuyển chọn các ...
Tóm tắt nội dung: Đề thi thử Học sinh giỏi môn Toán 12 (Đề số 04) được thiết kế bám sát cấu trúc đề minh họa mới. Bài viết tuyển chọn các bài toán ứng dụng thực tế, bài tập tối ưu hóa, thống kê và hình học không gian phân hóa cao, đi kèm đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh ôn luyện hiệu quả.
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN
Câu 1: Cho hàm số có bảng biến thiên với tiệm cận đứng \(x = 0\) và hai tiệm cận ngang \(y = 1, y = 3\). Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:
A. 2
B. 3
C. 4
D. 1
Câu 2: Nhiệt độ \(T\) của một người trong cơn bệnh biến thiên theo thời gian \(t\) trong ngày được cho bởi công thức \(T(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 9t^2 + 100\). Tính độ chênh lệch giữa nhiệt độ lớn nhất và nhiệt độ thấp nhất trong ngày.
A. \(108^\circ C\)
B. \(20^\circ C\)
C. \(36^\circ C\)
D. \(80^\circ C\)
Câu 5: Một ô tô đang di chuyển với vận tốc \(20\text{ m/s}\) thì người lái xe hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v(t) = -2t + 20\text{ (m/s)}\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?
A. \(100\text{ m}\)
B. \(200\text{ m}\)
C. \(50\text{ m}\)
D. \(150\text{ m}\)
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1: Một cửa hàng laptop bán trung bình 1000 máy mỗi tháng với giá 14 triệu đồng/chiếc. Khảo sát thị trường cho thấy nếu cứ giảm giá 500 nghìn đồng/máy thì số lượng máy bán ra tăng thêm 100 chiếc mỗi tháng.
a) Gọi \(p\) (triệu đồng) là giá bán và \(x\) là số lượng máy thì hàm cầu là \(p(x) = -\frac{1}{200}x + 19\).
b) Cửa hàng giảm giá 9,5 triệu đồng một chiếc thì số lượng người mua là đông nhất.
c) Với hàm chi phí hàng tháng \(C(x) = 3000 + 3x\) (triệu đồng), lợi nhuận lớn nhất cửa hàng thu được là 12200 triệu đồng.
d) Cửa hàng nên đặt giá bán 8,5 triệu đồng/máy để đạt lợi nhuận tối đa.
PHẦN IV. TỰ LUẬN & LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (Tự luận): Bác nông dân dùng ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài \(a\text{ (m)}\) để rào một mảnh vườn hình thang cân \(ABCD\) dọc bờ sông (bờ sông là đường thẳng \(CD\) không cần rào). Tính diện tích lớn nhất có thể rào được của mảnh vườn.
Lời giải chi tiết Câu 1 Tự luận:
Dựng các đường cao \(AE, BF\) của hình thang cân \(ABCD\). Đặt \(DE = FC = x\) với \(0 < x < a\).
Chiều cao của hình thang là: \(h = AE = \sqrt{a^2 - x^2}\).
Đáy lớn của hình thang là: \(CD = AB + 2x = a + 2x\).
Diện tích mảnh vườn hình thang cân được tính theo công thức:
\[S(x) = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = (a + x)\sqrt{a^2 - x^2}\]
Xét hàm số \(S(x)\) trên khoảng \((0; a)\), ta có đạo hàm:
\[S'(x) = \sqrt{a^2 - x^2} + (a + x) \cdot \frac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{a^2 - ax - 2x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}}\]
Giải phương trình \(S'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x^2 + ax - a^2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{a}{2}\) (do \(x > 0\)).
Lập bảng biến thiên, ta thấy hàm số \(S(x)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{a}{2}\).
Khi đó diện tích lớn nhất rào được là:
\[S_{\max} = S\left(\frac{a}{2}\right) = \left(a + \frac{a}{2}\right)\sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{4}\]
